Assosiative og kommutative egenskaper

Det er flere matematiske egenskaper som brukes i statistikk og sannsynlighet; to av disse, de kommutative og assosiative egenskapene, er vanligvis assosiert med den grunnleggende aritmetikken til heltall, begrunnelser, og reelle tall, selv om de også dukker opp i mer avansert matematikk.

Disse egenskapene - kommutativet og det assosiative - er veldig like og kan enkelt blandes sammen. Av den grunn er det viktig å forstå forskjellen mellom de to.

Den kommutative egenskapen gjelder rekkefølgen på visse matematiske operasjoner. For en binær operasjon - en som bare involverer to elementer - kan dette vises ved ligningen a + b = b + a. Operasjonen er kommutativ fordi rekkefølgen på elementene ikke påvirker resultatet av operasjonen. Den tilknyttede egenskapen, derimot, angår gruppering av elementer i en operasjon. Dette kan vises ved ligningen (a + b) + c = a + (b + c). Gruppering av elementene, som indikert av parentesene, påvirker ikke resultatet av ligningen. Merk at når den kommutative egenskapen brukes, er elementer i en ligning

Enkelt sagt sier den kommutative egenskapen at faktorene i en ligning kan omarrangeres fritt uten å påvirke utfallet av ligningen. Den kommutative egenskapen angår seg derfor rekkefølgen av operasjoner, inkludert tillegg og multiplikasjon av reelle tall, heltall og rasjonelle tall.

For eksempel kan tallene 2, 3 og 5 legges sammen i hvilken som helst rekkefølge uten å påvirke det endelige resultatet:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Tallene kan også multipliseres i hvilken som helst rekkefølge uten å påvirke det endelige resultatet:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Subtraksjon og inndeling er imidlertid ikke operasjoner som kan være kommutative fordi rekkefølgen av operasjoner er viktig. De tre tallene over kan ikke, for eksempel, bli trukket fra i hvilken som helst rekkefølge uten å påvirke den endelige verdien:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Som et resultat kan den kommutative egenskapen uttrykkes gjennom likningene a + b = b + a og a x b = b x a. Uansett rekkefølgen på verdiene i disse ligningene, vil resultatene alltid være de samme.

Den tilknyttede egenskapen oppgir at gruppering av faktorer i en operasjon kan endres uten å påvirke utfallet av ligningen. Dette kan uttrykkes gjennom ligningen a + (b + c) = (a + b) + c. Uansett hvilket par verdier i ligningen som blir lagt til først, vil resultatet være det samme.

Ta for eksempel ligningen 2 + 3 + 5. Uansett hvordan verdiene er gruppert, vil resultatet av ligningen være 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Som med den kommutative egenskapen, inkluderer eksempler på operasjoner som er assosiative, tillegg og multiplikasjon av reelle tall, heltall og rasjonelle tall. I motsetning til den kommutative egenskapen, kan den assosiative egenskapen også gjelde for matriksmultiplikasjon og funksjonskomposisjon.

I likhet med kommutative eiendomsligninger kan ikke assosiative eiendomsligninger inneholde subtraksjon av reelle tall. Ta for eksempel det aritmetiske problemet (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; hvis vi endrer gruppering av parentesene, har vi 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, noe som endrer det endelige resultatet av ligningen.

Vi kan fortelle forskjellen mellom den tilknyttede og den kommutative egenskapen ved å stille spørsmålet: “Endrer vi rekkefølgen på elementene, eller endrer vi gruppering av elementene? ” Hvis elementene omorganiseres, er kommutative egenskapen gjelder. Hvis elementene bare blir gruppert, gjelder den tilknyttede egenskapen.

Vær imidlertid oppmerksom på at tilstedeværelsen av parenteser ikke nødvendigvis betyr at den tilknyttede egenskapen gjelder. For eksempel:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Denne ligningen er et eksempel på den kommutative egenskapen for tilsetning av reelle tall. Hvis vi imidlertid følger nøye med på ligningen, ser vi at bare rekkefølgen på elementene er endret, ikke gruppering. For at den tilknyttede egenskapen skal gjelde, må vi også omorganisere gruppering av elementene:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3