Hva er eksponentielle vekstfunksjoner?

Eksponentielle funksjoner forteller historiene om eksplosiv forandring. De to typene eksponentielle funksjoner er eksponentiell vekst og eksponentielt forfall. Fire variabler (prosent endring, tid, beløpet i begynnelsen av tidsperioden og beløpet på slutten av tidsperioden) spiller roller i eksponentielle funksjoner. Følgende fokuserer på å bruke eksponentielle vekstfunksjoner for å lage prediksjoner.

Eksponentiell vekst er endringen som oppstår når en original mengde økes med en jevn hastighet over en periode

Bruk av eksponentiell vekst i det virkelige liv:

• Verdiene av boligprisene
• Verdier av investeringer
• Økt medlemskap på et populært nettsted for sosiale nettverk

Edloe og Co. er avhengige av jungeltelegrafen, det opprinnelige sosiale nettverket. Femti kjøpere fortalte hver til fem personer, og så fortalte hver av de nye kundene til fem personer til, og så videre. Lederen registrerte veksten av butikkhandlere.

• Uke 0: 50 shoppere
• Uke 1: 250 shoppere
• Uke 2: 1250 shoppere
• Uke 3: 6 250 shoppere
• Uke 4: 31 250 shoppere

For det første, hvordan vet du at disse dataene representerer eksponensiell vekst? Still deg to spørsmål.

1. Øker verdiene? Ja
2. Viser verdiene en jevn prosentvis økning? Ja.

Prosentvis økning: (Nyere - Eldre) / (Eldre) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Kontroller at prosentandelen øker vedvarer gjennom måneden:

Prosentvis økning: (Nyere - Eldre) / (Eldre) = (1 250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Prosentvis økning: (Nyere - Eldre) / (Eldre) = (6.250 - 1.250) / 1.250 = 4.00 = 400%

Forsiktig - ikke forveksle eksponentiell og lineær vekst.

Følgende representerer lineær vekst:

• Uke 1: 50 shoppere
• Uke 2: 50 kjøpere
• Uke 3: 50 shoppere
• Uke 4: 50 shoppere

Merk: Lineær vekst betyr et konstant antall kunder (50 kunder i uken); eksponentiell vekst betyr en jevn prosentvis økning (400%) av kundene.

Her er en eksponentiell vekstfunksjon:

y = en(1 + b)^x

• y: Endelig beløp som gjenstår over en periode
• en: Det opprinnelige beløpet
• x: Tid
• De vekstfaktor er (1 + b).
• Variabelen, b, er prosentvis endring i desimalform.

Fyll ut de blanke feltene:

• en = 50 kjøpere
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^x

Merk: Ikke fyll ut verdier for x og y. Verdiene av x og y vil endre seg gjennom hele funksjonen, men den opprinnelige mengden og prosentendringen vil forbli konstant.

Anta at lavkonjunkturen, den viktigste driveren av kjøpere til butikken, vedvarer i 24 uker. Hvor mange ukentlige kjøpere vil butikken ha i løpet av 8^th uke?

Forsiktig, ikke doble antallet kjøpere i uke 4 (31 250 * 2 = 62 500), og tro at det er riktig svar. Husk at denne artikkelen handler om eksponentiell vekst, ikke lineær vekst.

Bruk Order of Operations for å forenkle.

y = 50(1 + 4)^x

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Parentes)

y = 50 (390,625) (eksponent)

y = 19.531.250 (multipliser)

19.531.250 shoppere

Før lavkonjunkturen startet, svevde butikkens månedlige inntekter rundt 800 000 dollar. En butikk inntekter er det totale dollarbeløpet som kundene bruker i butikken på varer og tjenester.

Edloe og Co. Inntekter

• Før lavkonjunktur: 800 000 dollar
• 1 måned etter lavkonjunktur: 880 000 dollar
• 2 måneder etter lavkonjunktur: $ 968 000
• 3 måneder etter lavkonjunktur: $ 1.171.280
• 4 måneder etter lavkonjunktur: $ 1,288,408

Bruk informasjonen om inntektene til Edloe og Co for å fullføre 1 til 7.

1. Hva er de opprinnelige inntektene?
2. Hva er vekstfaktoren?
3. Hvordan modellerer denne datamodellen eksponentiell vekst?
4. Skriv en eksponentiell funksjon som beskriver disse dataene.
5. Skriv en funksjon for å forutsi inntekter i den femte måneden etter lavkonjunkturstart.
6. Hva er inntektene i den femte måneden etter starten av resesjon?
7. Anta at domenet til denne eksponentielle funksjonen er 16 måneder. Antar med andre ord at lavkonjunkturen vil vare i 16 måneder. På hvilket tidspunkt vil inntektene overstige 3 millioner dollar?