Hvordan finne frihetsgrader i statistikk

Mange statistiske inferensproblemer krever at vi finner antall grader av frihet. Antall frihetsgrader velger en enkelt sannsynlighetsfordeling fra uendelig mange. Dette trinnet er en ofte oversett, men avgjørende detalj i både beregningen avtillitsintervaller og arbeidet med hypotetester.

Det er ikke en eneste generell formel for antall frihetsgrader. Imidlertid er det spesifikke formler som brukes for hver type prosedyre i inferensiell statistikk. Med andre ord, innstillingen vi jobber i vil bestemme antall frihetsgrader. Det følgende er en delvis liste over noen av de vanligste inferensprosedyrene, sammen med antall frihetsgrader som brukes i hver situasjon.

Prosedyrer som involverer standard normalfordeling er oppført for fullstendighet og for å fjerne noen misforståelser. Disse prosedyrene krever ikke at vi finner antall frihetsgrader. Årsaken til dette er at det er en enkelt standard normalfordeling. Disse typene prosedyrer omfatter de som involverer en populasjonsmengde når populasjonsstandardavviket allerede er kjent, og også prosedyrer som gjelder populasjonsforhold.

Noen ganger krever statistisk praksis at vi bruker studentens t-distribusjon. For disse prosedyrene, for eksempel de som arbeider med en populasjonsmengde med ukjent populasjonsstandardavvik, er antallet frihetsgrader en mindre enn utvalgsstørrelsen. Så hvis prøvestørrelsen er n, så er det n - 1 frihetsgrader.

Mange ganger er det fornuftig å behandle data som sammenkoblet. Sammenkoblingen utføres typisk på grunn av en forbindelse mellom den første og andre verdien i paret vårt. Mange ganger paret vi oss før og etter målinger. Utvalget av sammenkoblede data er ikke uavhengig; imidlertid er forskjellen mellom hvert par uavhengig. Så hvis prøven har totalt n par datapunkter, (for totalt 2n verdier) så er det n - 1 frihetsgrader.

For denne typen problemer bruker vi fortsatt a t-fordelingen. Denne gangen er det et utvalg fra hver av våre befolkninger. Selv om det er å foretrekke å ha disse to prøvene av samme størrelse, er dette ikke nødvendig for våre statistiske prosedyrer. Dermed kan vi ha to prøver på størrelse n₁ og n₂. Det er to måter å bestemme antall frihetsgrader. Den mer nøyaktige metoden er å bruke Welchs formel, en beregningsmessig tungvint formel som involverer prøvestørrelser og standardstandardavvik. En annen tilnærming, referert til som den konservative tilnærmingen, kan brukes til å raskt estimere frihetsgrader. Dette er ganske enkelt det minste av de to tallene n₁ - 1 og n₂ - 1.

En bruk av chi-square test er å se om to kategoriske variabler, hver med flere nivåer, viser uavhengighet. Informasjonen om disse variablene er logget inn a toveis bord med r rader og c kolonner. Antallet frihetsgrader er produktet (r - 1)(c - 1).

Chi-kvadratisk god passform starter med en enkelt kategorisk variabel med totalt n nivåer. Vi tester hypotesen om at denne variabelen samsvarer med en forhåndsbestemt modell. Antallet frihetsgrader er ett mindre enn antall nivåer. Det er med andre ord n - 1 frihetsgrader.

Én faktor Analyse av varianter (ANOVA) tillater oss å gjøre sammenligninger mellom flere grupper, og eliminere behovet for flere parvise hypotetester. Siden testen krever at vi måler både variasjonen mellom flere grupper så vel som variasjonen i hver gruppe, ender vi opp med to frihetsgrader. De F-statistikk, som brukes for en faktor ANOVA, er en brøkdel. Telleren og nevneren har hver sin grad av frihet. La c være antall grupper og n er det totale antall dataverdier. Antallet frihetsgrader for telleren er en mindre enn antall grupper, eller c - 1. Antallet frihetsgrader for nevneren er det totale antall dataverdier minus antall grupper, eller n - c.

Det er tydelig å se at vi må være veldig nøye med å vite hvilken inferensprosedyre vi jobber med. Denne kunnskapen vil informere oss om riktig antall grader av frihet til bruk.