Vi lærer ganske tidlig i matematikkarrieren vår at fakultet, definert for ikke-negative heltall n, er en måte å beskrive gjentatt multiplikasjon. Det er betegnet ved bruk av et utropstegn. For eksempel:
Det eneste unntaket fra denne definisjonen er null factorial, hvor 0! = 1. Når vi ser på disse verdiene for fakultetet, kunne vi slå sammen n med n!. Dette vil gi oss poengene (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), og så på.
Definisjonen av gammafunksjonen er veldig kompleks. Det innebærer en komplisert formel som ser veldig rart ut. Gamma-funksjonen bruker en viss kalkulus i sin definisjon, så vel som Nummer e I motsetning til mer kjente funksjoner som polynomer eller trigonometriske funksjoner, er gammafunksjonen definert som den ukorrekte integralen til en annen funksjon.
Definisjonen av gammafunksjonen kan brukes til å demonstrere en rekke identiteter. Noe av det viktigste av disse er at Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Vi kan bruke dette, og det faktum at Γ (1) = 1 fra den direkte beregningen:
Men vi trenger ikke bare legge inn hele tall i gammafunksjonen. Ethvert komplekst tall som ikke er et negativt heltall, er i domenet til gammafunksjonen. Dette betyr at vi kan utvide fakultetet til andre tall enn ikke-heltall. Av disse verdiene er et av de mest kjente (og overraskende) resultatene at Γ (1/2) = √π.
Et annet resultat som ligner det siste er at Γ (1/2) = -2π. Gammafunksjonen produserer faktisk alltid en utgang fra et multiplum av kvadratroten til pi når et oddetall multiplum på 1/2 mates inn i funksjonen.
Gamafunksjonen dukker opp i mange, tilsynelatende ikke beslektede, matematikkfelt. Spesielt er generaliseringen av fabrikken levert av gammafunksjonen nyttig i noen kombinatoriske og sannsynlighetsproblemer. Noen sannsynlighetsfordelinger er definert direkte med tanke på gammafunksjonen. For eksempel er gamma-distribusjonen angitt når det gjelder gamma-funksjonen. Denne fordelingen kan brukes til å modellere tidsintervallet mellom jordskjelv. Studentens t-distribusjon, som kan brukes til data der vi har et ukjent populasjonsstandardavvik, og chi-kvadratfordelingen er også definert med tanke på gammafunksjonen.