Moment genererende funksjon for binomial distribusjon

Gjennomsnittet og variansen til en tilfeldig variabel X med en binomial sannsynlighetsfordeling kan være vanskelig å beregne direkte. Selv om det kan være tydelig hva som må gjøres for å bruke definisjonen av forventet verdi av X og X², er selve utførelsen av disse trinnene en vanskelig sjonglering av algebra og summeringer. En alternativ måte å bestemme middelet og variansen til a binomial fordeling er å bruke øyeblikk genererende funksjon til X.

Begynn med den tilfeldige variabelen X og beskrive sannsynlighetsfordeling mer spesifikt. Utføre n uavhengige Bernoulli-studier, som hver har sannsynlighet for suksess p og sannsynlighet for svikt 1 - p. Dermed er sannsynlighetsmassefunksjonen

f (x) = C(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

Her begrepet C(n, x) angir antall kombinasjoner av n elementer tatt x om gangen, og x kan ta verdiene 0, 1, 2, 3,..., n.

Bruk denne sannsynlighetsmassefunksjonen for å få den øyeblikkegenererende funksjonen til X:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

Det blir tydelig at du kan kombinere begrepene med eksponent for x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Ved bruk av binomialformelen er uttrykket ovenfor bare:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

For å finne mener og varians, må du vite begge deler M'(0) og M’’(0). Begynn med å beregne derivater, og vurder deretter hvert av dem på t = 0.

Du vil se at det første derivatet av øyeblikkegenererende funksjon er:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Fra dette kan du beregne gjennomsnittet av sannsynlighetsfordelingen. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Dette samsvarer med uttrykket som vi fikk direkte fra definisjonen av middelverdien.

Beregningen av variansen utføres på lignende måte. Differensier først øyeblikkegenereringsfunksjonen igjen, og deretter evaluerer vi dette derivatet kl t = 0. Her vil du se det

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

For å beregne variansen til denne tilfeldige variabelen må du finne M’’(t). Her har du M’’(0) = n(n - 1)p² +np. Variansen σ² av distribusjonen din er

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Selv om denne metoden er noe involvert, er den ikke så komplisert som å beregne middel og varians direkte fra sannsynlighetsmassefunksjonen.