Eksponentielle funksjoner fortell historiene om eksplosiv forandring. De to typene eksponentielle funksjoner er eksponentiell vekst og eksponentiell forfall. Fire variabler (prosent endring, tid, beløpet i begynnelsen av tidsperioden og beløpet på slutten av tidsperioden) spiller roller i eksponentielle funksjoner. Bruk en eksponentiell forfallsfunksjon for å finne mengden i begynnelsen av tidsperioden.
Eksponentielt forfall
Eksponentielt forfall er endringen som skjer når et opprinnelig beløp reduseres med en jevn hastighet over en periode.
Her er en eksponentiell forfallsfunksjon:
y = en(1b)x
- y: Endelig beløp som gjenstår etter forfallet over en periode
- en: Det opprinnelige beløpet
- x: Tid
- Forfallsfaktoren er (1-b)
- Variabelen b er prosentandelen av reduksjonen i desimalform.
Formålet med å finne det opprinnelige beløpet
Hvis du leser denne artikkelen, er du sannsynligvis ambisiøs. Seks år fra nå, kanskje du ønsker å forfølge en lavere grad ved Dream University. Med en prislapp på 120 000 dollar fremkaller Dream University økonomiske natteskrekk. Etter søvnløse netter møter du mamma og pappa en økonomisk planlegger. Foreldrenes blodskårne øyne lyser opp når planleggeren avslører at en investering med veksthastighet på åtte prosent kan hjelpe familien din til å nå målet på 120 000 dollar. Studer hardt. Hvis du og foreldrene dine investerer 75 620,36 dollar i dag, vil Dream University bli din virkelighet takket være eksponentielt forfall.
Hvordan løse
Denne funksjonen beskriver den eksponentielle veksten av investeringen:
120,000 = en(1 +.08)6
- 120.000: Endelig beløp som gjenstår etter 6 år
- .08: Årlig vekstrate
- 6: Antallet år for investeringen skal vokse
- en: Det første beløpet som familien investerte
Takket være den symmetriske egenskapen til likhet, 120 000 = en(1 +.08)6 er det samme som en(1 +.08)6 = 120,000. Symmetrisk egenskap av likhet sier at hvis 10 + 5 = 15, så 15 = 10 + 5.
Hvis du foretrekker å omskrive ligningen med konstanten (120 000) til høyre for ligningen, gjør du det.
en(1 +.08)6 = 120,000
Gitt, ligningen ser ikke ut som en lineær ligning (6en = 120 000 dollar), men det er løsbart. Hold deg til det!
en(1 +.08)6 = 120,000
Løs ikke denne eksponentielle ligningen ved å dele 120 000 med 6. Det er et fristende nei-nei.
1. Bruk rekkefølgen av operasjoner for å forenkle
en(1 +.08)6 = 120,000
en(1.08)6 = 120 000 (Parenthesis)
en(1,586874323) = 120 000 (eksponent)
2. Løs av dele
en(1.586874323) = 120,000
en(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1en = 75,620.35523
en = 75,620.35523
Det opprinnelige beløpet å investere er omtrent $ 75 620,36.
3. Frys: Du er ikke ferdig enda; bruk rekkefølgen av operasjoner for å sjekke svaret ditt
120,000 = en(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parentes)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (eksponent)
120 000 = 120 000 (Multiplikasjon)
Svar og forklaringer på spørsmålene
Woodforest, Texas, en forstad til Houston, er fast bestemt på å lukke det digitale skillet i samfunnet. For noen år siden oppdaget samfunnsledere at innbyggerne deres var analfabeter. De hadde ikke tilgang til internett og ble stengt utenfor informasjons-motorveien. Lederne etablerte World Wide Web on Wheels, et sett med mobile datamaskinstasjoner.
World Wide Web on Wheels har oppnådd sitt mål om bare 100 dataleilittererte borgere i Woodforest. Samfunnsledere studerte den månedlige utviklingen av World Wide Web on Wheels. I følge dataene kan nedgangen til dataleilittere borgere beskrives ved følgende funksjon:
100 = en(1 - .12)10
1. Hvor mange mennesker er datamaskin analfabeter 10 måneder etter begynnelsen av World Wide Web on Wheels?
- 100 mennesker
Sammenlign denne funksjonen med den opprinnelige eksponentielle vekstfunksjonen:
100 = en(1 - .12)10
y = en(1 + b)x
De variabely representerer antallet analfabeter på slutten av ti måneder, så 100 mennesker er fremdeles datan analfabeter etter at World Wide Web on Wheels begynte å jobbe i samfunnet.
2. Representerer denne funksjonen eksponentielt forfall eller eksponentiell vekst?
- Denne funksjonen representerer eksponentielt forfall fordi et negativt tegn sitter foran prosentendringen (.12).
3. Hva er den månedlige endringsraten?
- 12 prosent
4. Hvor mange mennesker var dataleilittererte for ti måneder siden, da World Wide Web on Wheels ble startet?
- 359 personer
Brukrekkefølgen på driften å forenkle.
100 = en(1 - .12)10
100 = en(.88)10 (Parentes)
100 = en(.278500976) (eksponent)
Del opp for å løse.
100(.278500976) = en(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1en
359.0651689 = en
Bruk rekkefølgen på operasjoner for å sjekke svaret ditt.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Parentes)
100 = 359.0651689 (.278500976) (eksponent)
100 = 100 (multipliser)
5. Hvis disse trendene fortsetter, hvor mange vil da være analfabeter i datoen 15 måneder etter begynnelsen av World Wide Web on Wheels?
- 52 personer
Legg til det du vet om funksjonen.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Bruk Order of Operations for å finne y.
y = 359.0651689(.88)15 (Parentes)
y = 359.0651689 (.146973854) (eksponent)
y = 52,77319167 (multipliser).