Hva er kalkulus? Definisjon og praktiske applikasjoner

Calculus er en gren av matematikk som involverer studier av endringshastigheter. Før kalkulus ble oppfunnet, var all matematikk statisk: Det kunne bare hjelpe med å beregne objekter som var perfekt stille. Men universet beveger seg og endrer seg hele tiden. Ingen gjenstander - fra stjernene i rommet til subatomære partikler eller celler i kroppen - er alltid i ro. Faktisk er omtrent alt i universet stadig i bevegelse. Kalkulus hjalp til med å bestemme hvordan partikler, stjerner og materie faktisk beveger seg og endres i sanntid.

Kalkulus brukes i et mangfold av felt som du vanligvis ikke ville tro at vil gjøre bruk av konseptene. Blant dem er fysikk, ingeniørfag, økonomi, statistikk og medisin. Kalkulus brukes også i så forskjellige områder som romfart, i tillegg til å bestemme hvordan medisiner interagerer med kroppen, og til og med hvordan man bygger tryggere strukturer. Du vil forstå hvorfor kalkulus er nyttig på så mange områder hvis du vet litt om historien og hva den er designet for å gjøre og måle.

Key Takeaways: Fundamental Theorem of the Calculus

Calculus ble utviklet i siste halvdel av 1600-tallet av to matematikere, Gottfried Leibniz og Isaac Newton. Newton utviklet først kalkulus og brukte den direkte på forståelsen av fysiske systemer. Uavhengig utviklet Leibniz notasjonene som ble brukt i kalkulus. Enkelt sagt, mens grunnleggende matematikk bruker operasjoner som pluss, minus, tider og inndeling (+, -, x og ÷), bruker kalkulus operasjoner som bruker funksjoner og integraler å beregne endringsrater.

Disse verktøyene tillot Newton, Leibniz og andre matematikere som fulgte for å beregne ting som den nøyaktige skråningen på en kurve når som helst. Historien om matematikk forklarer viktigheten av Newtons grunnleggende teorem om beregningen:

"I motsetning til staternes geometri til grekere, tillot kalkulus matematikere og ingeniører å gi mening om bevegelse og dynamisk endring i den skiftende verdenen rundt oss, for eksempel planetenes baner, væskens bevegelse, etc."

Ved hjelp av kalkulus kunne forskere, astronomer, fysikere, matematikere og kjemikere nå kartlegge banen til planetene og stjernene, så vel som banen til elektroner og protoner på atomnivå.

Det er to grener av kalkulus: differensial og integrert kalkulus. "Differensialkalkulus studerer derivater og integrerte kalkulusstudier... integralet," bemerker Massachusetts Institute of Technology. Men det er mer enn det. Differensialberegning bestemmer endringshastigheten for et kvantum. Den undersøker hastighetene på endringer i bakker og kurver.

Denne grenen er opptatt av å studere hastigheten på endring av funksjoner med hensyn til deres variabler, spesielt gjennom bruk av derivater og differensialer. Derivatet er skråningen på en linje på en graf. Du finner helningen på en linje ved å beregne stige over løpet.

Integrert kalkulusderimot, søker å finne mengden der endringshastigheten er kjent. Denne grenen fokuserer på konsepter som skråninger av tangentlinjer og hastigheter. Mens differensialkalkulus fokuserer på selve kurven, angår integrert kalkulus seg med rommet eller området under kurven. Integrert kalkyle brukes til å beregne den totale størrelsen eller verdien, for eksempel lengder, arealer og volumer.

Kalkulus spilte en integrert rolle i utvikling av navigasjon på 1600- og 1700-tallet fordi det tillot sjømenn å bruke månens plassering for å bestemme lokal tid nøyaktig. For å kartlegge sin posisjon til sjøs, trengte navigatører å kunne måle både tid og vinkler med nøyaktighet. Før utviklingen av kalkulus, kunne ikke skipets navigatører og kapteiner gjøre det.

Kalkulus - både derivat og integrert - bidro til å forbedre forståelsen av dette viktige konseptet når det gjelder jordens kurve, avstandsskip måtte reise rundt en kurve for å komme til et bestemt sted, og til og med justeringen av Jorden, hav og skip i forhold til stjerner.

Calculus har mange praktiske applikasjoner i det virkelige liv. Noen av konsepter som bruker kalkulus inkluderer bevegelse, elektrisitet, varme, lys, harmonikk, akustikk og astronomi. Kalkulus brukes i geografi, datasyn (for eksempel for autonom bilkjøring), fotografering, kunstig intelligens, robotikk, videospill og til og med filmer. Kalkulus brukes også til å beregne frekvensene av radioaktivt forfall i kjemi, og til og med for å forutsi fødsels- og dødsrater, så vel som i studiet av tyngdekraft og planetarisk bevegelse, væskestrømning, skipsdesign, geometriske kurver og broteknikk.

I fysikk brukes for eksempel kalkulus for å definere, forklare og beregne bevegelse, elektrisitet, varme, lys, harmonikk, akustikk, astronomi og dynamikk. Einsteins relativitetsteori er avhengig av kalkulus, et matematikkfelt som også hjelper økonomer å forutsi hvor mye fortjeneste et selskap eller næring kan gjøre. Og i skipsbygging, har kalkulus blitt brukt i mange år for å bestemme både kurven til skroget til skipet (ved bruk av differensial kalkulus), samt området under skroget (ved bruk av integrert kalkulus), og til og med i den generelle utformingen av skip.

I tillegg brukes kalkulus for å sjekke svar for forskjellige matematiske fagfelt som statistikk, analytisk geometri og algebra.

Økonomer bruker kalkulus for å forutsi tilbud, etterspørsel og maksimal potensiell fortjeneste. Tilbud og etterspørsel er tross alt vesentlig kartlagt på en kurve - og en stadig skiftende kurve på det tidspunktet.

Økonomer bruker kalkulus for å bestemme priselastisitet i etterspørselen. De omtaler den stadig skiftende tilbud og etterspørselskurven som "elastisk", og handlingene til kurven som "elastisitet." Å beregne et eksakt mål på elastisitet hos et bestemt peker på en tilbuds- eller etterspørselskurve, må du tenke på uendelige små prisendringer og som et resultat inkorporere matematiske derivater i elastisiteten din formler. Calculus lar deg bestemme bestemte punkter på den stadig skiftende tilbud og etterspørselskurven.

"Kalkulasjonsoppsummering." Massachusetts Institute of Technology, 10. januar 2000, Cambridge, MA.