Factorial (!) I matematikk og statistikk

I matematikk, symboler som har visse betydninger på det engelske språket kan bety veldig spesialiserte og forskjellige ting. Tenk for eksempel på følgende uttrykk:

3!

Nei, vi brukte ikke utropstegn for å vise at vi er begeistret for tre, og vi burde ikke lese den siste setningen med vekt. I matematikk er uttrykket 3! blir lest som "tre factorial" og er virkelig en kortfattet måte å betegne multiplikasjonen av flere påfølgende hele tall.

Siden det er mange steder i matematikk og statistikk der vi trenger å multiplisere tall sammen, er faktoriet ganske nyttig. Noen av de viktigste stedene der det dukker opp er kombinatorikk og sannsynlighet kalkulus.

Definisjonen av fabrikken er den for et positivt heltal n, fabrikken:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Først skal vi se på noen få eksempler på fabrikken med små verdier av n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
instagram viewer
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Som vi ser blir fabrikken veldig stor veldig raskt. Noe som kan virke lite, for eksempel 20! har faktisk 19 sifre.

Factorials er enkle å beregne, men de kan være litt slitsomme å beregne. Heldigvis har mange kalkulatorer en fabrikknøkkel (se etter! symbol). Denne funksjonen til kalkulatoren vil automatisere multiplikasjonene.

Én annen verdi av fabrikken og en som standarddefinisjonen ovenfor ikke inneholder, er den av null factorial. Hvis vi følger formelen, ville vi ikke oppnå noen verdi for 0!. Det er ingen positive hele tall mindre enn 0. Av flere grunner er det aktuelt å definere 0! = 1. Faktoriet for denne verdien vises spesielt i formlene for kombinasjoner og permutasjoner.

Når vi arbeider med beregninger, er det viktig å tenke på før vi trykker på faktortasten på kalkulatoren vår. For å beregne et uttrykk som 100! / 98! det er et par forskjellige måter å gjøre dette på.

En måte er å bruke en kalkulator å finne begge 100! og 98!, så del det ene ved det andre. Selv om dette er en direkte måte å beregne, har det noen vanskeligheter forbundet med det. Noen kalkulatorer kan ikke håndtere uttrykk så store som 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (Uttrykket 10¹⁵⁷ er en vitenskapelig notasjon som betyr at vi multipliserer med 1 etterfulgt av 157 nuller.) Ikke bare er dette tallet enormt, men det er også bare et estimat til den reelle verdien av 100!

En annen måte å forenkle et uttrykk med faktorer som det som sees her, krever ikke en kalkulator i det hele tatt. Måten å nærme seg dette problemet er å erkjenne at vi kan skrive om 100! ikke som 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, men i stedet som 100 x 99 x 98! Uttrykket 100! / 98! blir nå (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.