Hvordan utlede formelen for kombinasjoner

Etter å ha sett formler trykt i en lærebok eller skrevet på tavlen av en lærer, er det noen ganger overraskende å finne ut at mange av disse formlene kan avledes fra noen grunnleggende definisjoner og nøye tanke. Dette er spesielt sannsynlig når du undersøker formelen for kombinasjoner. Avledningen av denne formelen er egentlig bare avhengig av multiplikasjonsprinsippet.

Anta at det er en oppgave å gjøre, og denne oppgaven er inndelt i totalt to trinn. Det første trinnet kan gjøres i k måter og det andre trinnet kan gjøres i n måter. Dette betyr at etter multiplisere disse tallene sammen, er antall måter å utføre oppgaven på nk.

For eksempel, hvis du har ti slags iskrem å velge mellom og tre forskjellige pålegg, hvor mange øser du, en topp topper du kan lage? Multipliser tre med 10 for å få 30 sundaer.

Nå bruker du multiplikasjonsprinsippet for å utlede formelen for antall kombinasjoner av r elementer hentet fra et sett med n elementer. La P (n, r)

Tenk på hva som skjer når du danner en permutasjon av r elementer fra totalt n. Se på dette som en totrinns prosess. Velg først et sett med r elementer fra et sett med n. Dette er en kombinasjon og det er det C(n, r) måter å gjøre dette på. Det andre trinnet i prosessen er å bestille r elementer med r valg for det første, r - 1 valg for det andre, r - 2 for den tredje, 2 valg for den nest siste og 1 for den siste. Etter multiplikasjonsprinsippet finnes det r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! måter å gjøre dette på. Denne formelen er skrevet med faktorial notasjon.

For å oppsummere, P(n,r ), antall måter å danne en permutasjon av r elementer fra totalt n bestemmes av:

1. Danner en kombinasjon av r elementer av totalt n i noen av C(n,r ) måter
2. Bestiller disse r elementer noe av r! måter.

Ved multiplikasjonsprinsippet er antall måter å danne en permutasjon på P(n,r ) = C(n,r ) x r!.

Bruker formelen for permutasjoner P(n,r ) = n!/(n - r)!, som kan erstattes med formelen ovenfor:

n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.

Nå løser dette, antall kombinasjoner, C(n,r ), og se det C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Som demonstrert kan litt tanke og algebra gå langt. Andre formler innen sannsynlighet og statistikk kan også avledes med noen nøye anvendelser av definisjoner.