Hva er de konverserende, kontrapositive og inverse?

Betingede uttalelser viser seg overalt. I matematikk eller andre steder tar det ikke lang tid å komme inn på noe av formen “Hvis P deretter Q.” Betingede uttalelser er virkelig viktige. Det som også er viktig er utsagn som er relatert til den opprinnelige betingede uttalelsen ved å endre posisjonen til P, Q og negering av en uttalelse. Begynnende med en original uttalelse, ender opp med tre nye betingede utsagn som heter navnet converse, contrapositive og omvendt.

Før vi definerer det omvendte, kontrapositive og inverse av en betinget uttalelse, må vi undersøke temaet negasjon. Hver uttalelse i logikk er enten sant eller usant. Negering av en uttalelse innebærer ganske enkelt at ordet "ikke" settes inn i den rette delen av utsagnet. Tillegget av ordet “ikke” gjøres slik at det endrer utsagnets sannhetsstatus.

Det vil hjelpe å se på et eksempel. Uttalelsen “The høyre trekant er liksidig "har negasjon" Den rette trekanten er ikke sidesidig. " Negasjonen av "10 er et jevnt tall" er utsagnet "10 er ikke et jevnt tall." Selvfølgelig for dette siste eksempel, kan vi bruke definisjonen av et oddetall og i stedet si at "10 er et oddetall." Vi gjør oppmerksom på at sannheten i en uttalelse er det motsatte av den av negasjon.

Vi vil undersøke denne ideen i en mer abstrakt setting. Når uttalelsen P er sant, utsagnet “ikke PEr usant. Tilsvarende hvis P er falsk, dets negasjon “ikkeP" er sant. Negasjoner er ofte betegnet med en tilde ~. Så i stedet for å skrive “ikke P”Vi kan skrive ~P.

Nå kan vi definere samtalen, det kontrapositive og det inverse av en betinget uttalelse. Vi starter med den betingede uttalelsen “Hvis P deretter Q.”

• Samtalen til den betingede uttalelsen er “Hvis Q deretter P.”
• Den kontrapositive til den betingede uttalelsen er “Hvis ikke Q da ikke P.”
• Det inverse av betinget utsagn er “Hvis ikke P da ikke Q.”

Vi får se hvordan disse uttalelsene fungerer med et eksempel. Anta at vi begynner med den betingede uttalelsen "Hvis det regnet i går kveld, er fortauet vått."

• Samtalen til den betingede uttalelsen er "Hvis fortauet er vått, regnet det i går kveld."
• Den kontrapositive til den betingede uttalelsen er "Hvis fortauet ikke er vått, regnet det ikke i går kveld."
• Det inverse av betinget utsagn er "Hvis det ikke regnet i går kveld, er fortauet ikke vått."

Vi lurer kanskje på hvorfor det er viktig å danne disse andre betingede uttalelsene fra den første. Et nøye blikk på eksemplet ovenfor avslører noe. Anta at den opprinnelige uttalelsen “Hvis det regnet i går kveld, så er fortauet vått” er sant. Hvilke av de andre utsagnene må også være sanne?

• Samtalen “Hvis fortauet er vått, regnet det i går kveld”, er ikke nødvendigvis sant. Fortauet kan være vått av andre grunner.
• Den inverse “Hvis det ikke regnet i går kveld, er fortauet ikke vått”, er ikke nødvendigvis sant. Igjen, bare fordi det ikke regnet, betyr ikke det at fortauet ikke er vått.
• Den kontrapositive "Hvis fortauet ikke er vått, regnet det ikke i går kveld" er en sann uttalelse.

Det vi ser av dette eksemplet (og hva som kan bevises matematisk) er at en betinget uttalelse har samme sannhetsverdi som dens kontrapositive. Vi sier at disse to utsagnene er logisk likeverdige. Vi ser også at en betinget uttalelse ikke logisk tilsvarer dens omvendte og inverse.

Siden en betinget uttalelse og dens kontrapositive er logisk likeverdige, kan vi bruke dette til vår fordel når vi beviser matematiske teoremer. I stedet for å bevise sannheten i en betinget uttalelse direkte, kan vi i stedet bruke den indirekte bevisstrategien for å bevise sannheten i det utsagnets kontrapositive. Kontrapositive bevis fungerer fordi hvis den kontrapositive er sann, på grunn av logisk ekvivalens, er den opprinnelige betingede uttalelsen også sann.

Det viser seg at selv om samtale og invers tilsvarer ikke logisk med den opprinnelige betingede uttalelsen, de tilsvarer logisk sett med hverandre. Det er en enkel forklaring på dette. Vi starter med den betingede uttalelsen “Hvis Q deretter P”. Den kontrapositive av denne uttalelsen er “Hvis ikke P da ikke Q.” Siden det inverse er det kontrapositive for det converse, er converse og inverse logisk likeverdige.