Variansen til en fordeling av en tilfeldig variabel er en viktig funksjon. Dette tallet indikerer spredningen til en distribusjon, og det blir funnet ved å kvadratere standardavvik. En ofte brukt diskret fordeling er den for Poisson-distribusjonen. Vi vil se hvordan du beregner variansen til Poisson-distribusjonen med parameter λ.
Poisson-distribusjonen
Poisson-distribusjoner brukes når vi har et kontinuum av noe slag og teller diskrete endringer innenfor dette kontinuumet. Dette skjer når vi vurderer antall personer som ankommer en billettskrift i løpet av en time, holder rede på antall biler som kjører gjennom et veikryss med en fireveis stopp eller teller antall feil som oppstår i en lengde på metalltråd.
Hvis vi gjør noen få klargjørende forutsetninger i disse scenariene, samsvarer disse situasjonene med forholdene for en Poisson-prosess. Vi sier da at den tilfeldige variabelen, som teller antall endringer, har en Poisson-fordeling.
Poisson-distribusjonen refererer faktisk til en uendelig distribusjonsfamilie. Disse distribusjonene er utstyrt med en enkelt parameter λ. Parameteren er en positiv
ekte nummer som er nært knyttet til det forventede antall endringer observert i kontinuumet. Videre vil vi se at denne parameteren er lik ikke bare mener av distribusjonen, men også variansen til distribusjonen.Sannsynlighetsmassefunksjonen for en Poisson-distribusjon er gitt av:
f(x) = (λxe-λ)/x!
I dette uttrykket, brevet e er et tall og er den matematiske konstanten med en verdi tilnærmet lik 2.718281828. Variabelen x kan være et hvilket som helst ikke-negativt heltall.
Beregner variasjonen
For å beregne gjennomsnittet av en Poisson-distribusjon bruker vi denne distribusjonen øyeblikk genererende funksjon. Vi ser at:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Vi husker nå Maclaurin-serien for eu. Siden ethvert derivat av funksjonen eu er eu, alle disse derivatene evaluert til null gir oss 1. Resultatet er serien eu = Σ un/n!.
Ved å bruke Maclaurin-serien for eu, kan vi uttrykke øyeblikkets genererende funksjon ikke som en serie, men i en lukket form. Vi kombinerer alle vilkår med eksponenten for x. Dermed M(t) = eλ(et - 1).
Vi finner nå variansen ved å ta det andre derivatet av M og evaluere dette til null. Siden M’(t) =λetM(t), bruker vi produktregelen for å beregne det andre derivatet:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
Vi evaluerer dette på null og finner det M’’(0) = λ2 + λ. Vi bruker da det faktum M'(0) = λ for å beregne variansen.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Dette viser at parameteren λ ikke bare er gjennomsnittet for Poisson-distribusjonen, men også dens varians.