Hva er de minste ruter-regresjonslinjen?

En scatterplot er en type graf som brukes til å representere sammenkoblede data. Den forklarende variabelen er plottet langs den horisontale aksen og responsvariabelen er tegnet langs den vertikale aksen. En grunn til å bruke denne typen graf er å se etter sammenhenger mellom variablene.

Det mest grunnleggende mønsteret å se etter i et sett med sammenkoblede data er det av en rett linje. Gjennom to punkter kan vi trekke en rett linje. Hvis det er mer enn to punkter i scatterplot vår, vil vi for det meste ikke lenger kunne trekke en linje som går gjennom hvert punkt. I stedet vil vi tegne en linje som går gjennom midten av punktene og viser den generelle lineære trenden til dataene.

Når vi ser på punktene i grafen vår og ønsker å trekke en strek gjennom disse punktene, oppstår et spørsmål. Hvilken linje skal vi tegne? Det er et uendelig antall linjer som kan tegnes. Ved å bruke øynene våre alene, er det tydelig at hver person som ser på spredningsplottet kunne produsere en litt annen linje. Denne tvetydigheten er et problem. Vi ønsker å ha en veldefinert måte for alle å få samme linje. Målet er å ha en matematisk presis beskrivelse av hvilken linje som skal tegnes. De minste rutene

Navnet på linjen med minste kvadrat forklarer hva den gjør. Vi starter med en samling av poeng med koordinater gitt av (x_Jeg, y_Jeg). Enhver rett linje vil passere mellom disse punktene og vil enten gå over eller under hver av disse. Vi kan beregne avstandene fra disse punktene til linjen ved å velge en verdi av x og deretter trekke fra det observerte y koordinat som tilsvarer dette x fra y koordinat av linjen vår.

Ulike linjer gjennom det samme settet med poeng vil gi et annet sett med avstander. Vi ønsker at disse avstandene skal være så små som vi kan gjøre dem. Men det er et problem. Siden avstandene våre kan være positive eller negative, vil summen av alle disse avstandene avbryte hverandre. Summen av avstander vil alltid være lik null.

Løsningen på dette problemet er å eliminere alle de negative tallene ved å kvadratere avstandene mellom punktene og linjen. Dette gir en samling ikke-negative tall. Målet vi hadde for å finne en linje med best passform er det samme som å gjøre summen av disse kvadratiske avstandene så liten som mulig. Kalkulus kommer til unnsetning her. Prosessen med differensiering i kalkulus gjør det mulig å minimere summen av de kvadratiske avstandene fra en gitt linje. Dette forklarer uttrykket “minste kvadrater” i vårt navn for denne linjen.

Siden den minste kvadratlinjen minimerer de kvadratiske avstandene mellom linjen og punktene våre, kan vi tenke på denne linjen som den som passer best til våre data. Dette er grunnen til at den minste kvadratlinjen også er kjent som linjen med best passform. Av alle de mulige linjene som kan tegnes, er den minste kvadratlinjen nærmest datasettet som helhet. Dette kan bety at linjen vår vil savne å treffe noen av punktene i datasettet vårt.

Det er noen få funksjoner som hver minste firkantede linje har. Den første interesseposten omhandler helningen på linjen vår. Skråningen har forbindelse til korrelasjonskoeffisient av våre data. Faktisk er linjens helning lik r (s_y/ s_x). Her s _x angir standardavviket til x koordinater og s _y standardavviket til y koordinater av dataene våre. Tegnet på korrelasjonskoeffisienten er direkte relatert til tegnet på skråningen på vår minste kvadratlinje.

Et annet trekk ved linjen med minste kvadrat angår et punkt som den passerer gjennom. Mens y avskjæring av en linje med minst kvadrater er kanskje ikke interessant fra statistisk synspunkt, det er det et poeng som er. Hver minste kvadratlinje passerer midtpunktet i dataene. Dette midtpunktet har en x koordinat som er mener av x verdier og a y koordinat som er gjennomsnittet av y verdier.