Historien om algebra

Ulike avledninger av ordet "algebra", som er av arabisk opprinnelse, er gitt av forskjellige forfattere. Den første omtale av ordet er å finne i tittelen på et verk av Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), som blomstret rundt begynnelsen av 900-tallet. Hele tittelen er ilm al-jebr wa'l-muqabala, som inneholder ideene om restitusjon og sammenligning, eller opposisjon og sammenligning, eller oppløsning og ligning, jebr avledes fra verbet Jabara, å gjenforene, og muqabala, fra Gabala, å gjøre lik. (Roten Jabara blir også møtt med i ordet algebrista, som betyr en "bein-setter", og som fremdeles er vanlig i Spania.) Den samme avledningen er gitt av Lucas Paciolus (Luca Pacioli), som reproduserer uttrykket i den translittererte formen alghebra e almucabala, og tilskriver arabere oppfinnelsen av kunsten.

Andre forfattere har avledet ordet fra den arabiske partikkelen al (den bestemte artikkelen), og Gerber, som betyr "mann." Siden Geber imidlertid tilfeldigvis ble navnet på en berømt morisk filosof som blomstret inn omtrent 1100- eller 1100-tallet, har det antatt at han var grunnleggeren av algebra, som siden har foreviget hans Navn. Bevisene til Peter Ramus (1515-1572) på dette punktet er interessante, men han gir ingen autoritet for sine entall. I forordet til hans

Selv om uttrykket "algebra" nå er i universell bruk, ble forskjellige andre benevnelser brukt av de italienske matematikerne under renessansen. Dermed finner vi Paciolus kaller det l'Arte Magiore; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa over Alghebra e Almucabala. Navnet l'arte magiore, den større kunsten, er designet for å skille den fra l'arte minore, den mindre kunsten, et begrep som han brukte på den moderne aritmetikken. Hans andre variant, la regula de la cosa, tingenes regel eller ukjent mengde, ser ut til å ha vært vanlig i Italia, og ordet cosa ble bevart i flere århundrer i formene coss eller algebra, cossic eller algebraic, cossist eller algebraist, & c. Andre italienske forfattere kalte det the Regula rei et census, tingenes og produktets regel, eller roten og firkanten. Prinsippet som ligger til grunn for dette uttrykket er sannsynligvis å finne i det faktum at det målte grensene for prestasjonene deres i algebra, for de klarte ikke å løse ligninger av høyere grad enn kvadratisk eller torget.

Franciscus Vieta (Francois Viete) kalte den Spesiell aritmetikk, på grunn av arten av de involverte mengdene, som han representerte symbolsk ved alfabetets forskjellige bokstaver. Sir Isaac Newton introduserte begrepet Universal Arithmetic, siden det dreier seg om doktrinen om operasjoner, ikke påvirket av tall, men om generelle symboler.

Til tross for disse og andre idiosynkratiske betegnelser, har europeiske matematikere holdt seg til det eldre navnet, som emnet nå er universelt kjent med.

Fortsettes på side to.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra utgaven fra 1911 av et leksikon, som er opphavsrettslig her i USA Artikkelen er i det offentlige, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette arbeidet som du ser passe.

Vi har gjort alt vi prøver å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form for dette dokumentet.

Det er vanskelig å tilordne oppfinnelsen av kunst eller vitenskap definitivt til en bestemt alder eller rase. De få fragmentariske referatene som har kommet til oss fra tidligere sivilisasjoner, må ikke anses å representere helheten av kunnskapen deres, og utelatelsen av en vitenskap eller kunst innebærer ikke nødvendigvis at vitenskapen eller kunsten var ukjent. Det var tidligere skikken å tildele oppfinnelsen av algebra til grekerne, men siden dekrypteringen av Rhind papyrus av Eisenlohr dette synet har endret seg, for i dette arbeidet er det tydelige tegn på en algebraisk analyse. Den spesielle problema-haugen (hau) og den syvende får 19 til å løses slik vi nå skulle løse en enkel ligning; men Ahmes varierer metodene sine i andre lignende problemer. Denne oppdagelsen bærer oppfinnelsen av algebra tilbake til ca 1700 f.Kr., hvis ikke tidligere.

Det er sannsynlig at algebraen til egypterne var av mest rudimentær karakter, for ellers må vi forvente å finne spor etter den i verkene til de greske aeometrene. hvorav Thales of Miletus (640-546 f.Kr.) var den første. Til tross for forfatteres forekomst og antall skrifter, forsøk alle forsøk på å trekke ut en algebraisk analyse fra deres geometriske teoremer og problemer har vært fruktløse, og det er generelt innrømmet at deres analyse var geometrisk og hadde liten eller ingen tilknytning til algebra. Det første eksisterende arbeidet som nærmer seg en avhandling om algebra, er av Diophantus (q.v.), en Alexandrisk matematiker, som blomstret rundt 350 D. Originalen, som besto av et forord og tretten bøker, er nå tapt, men vi har en latin oversettelse av de seks første bøkene og en fragment av et annet på polygonale tall av Xylander fra Augsburg (1575), og latin og gresk oversettelser av Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Andre utgaver er publisert, hvorav vi kan nevne Pierre Fermats (1670), T. L. Heath's (1885) og P. Garveri (1893-1895). I forordet til dette verket, som er viet til en Dionysius, forklarer Diophantus sin notasjon, navngivning kvadratet, kuben og fjerde krefter, dynamis, cubus, dynamodinimus, og så videre, i henhold til summen i indekser. Det ukjente han betegner arithmos, antallet, og i løsninger markerer han det med de endelige s; han forklarer generering av krefter, reglene for multiplikasjon og deling av enkle mengder, men han behandler ikke addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av forbindelse mengder. Deretter fortsetter han med å diskutere forskjellige gjenstander for forenkling av ligninger, og gir metoder som fremdeles er i vanlig bruk. I arbeidets kropp viser han betydelig oppfinnsomhet når han reduserer problemene sine til enkle ligninger, som innrømmer enten en direkte løsning, eller faller i klassen kjent som ubestemmelige ligninger. Denne sistnevnte klassen diskuterte han så flittig at de ofte er kjent som Diophantine-problemer, og metodene for å løse dem som Diophantine analyse (se EQUATION, Indeterminate.) Det er vanskelig å tro at dette arbeidet med Diophantus oppsto spontant i en periode med generell stagnasjon. Det er mer enn sannsynlig at han var gjeld til tidligere forfattere, som han unnlater å nevne, og hvis verk nå går tapt; Likevel, men for dette arbeidet, bør vi bli ført til å anta at algebra nesten var, om ikke helt, ukjent for grekerne.

Romerne, som etterfulgte grekerne som den øverste siviliserte makten i Europa, klarte ikke å sette pris på sine litterære og vitenskapelige skatter; matematikk var alt annet enn neglisjert; og utover noen få forbedringer i aritmetiske beregninger, er det ingen vesentlige fremskritt som kan registreres.

I den kronologiske utviklingen av faget vårt, må vi nå henvende oss til Orienten. Undersøkelse av skriftene til indiske matematikere har vist et grunnleggende skille mellom det greske og Indisk sinn, førstnevnte geometri og spekulativ, sistnevnte aritmetisk og hovedsakelig praktisk. Vi opplever at geometri ble forsømt, bortsett fra i den grad det var til tjeneste for astronomi; trigonometri ble avansert, og algebra forbedret seg langt utover oppnådd av Diophantus.

Fortsettes på side tre.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra utgaven fra 1911 av et leksikon, som er opphavsrettslig her i USA Artikkelen er i det offentlige, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette arbeidet som du ser passe.

Vi har gjort alt vi prøver å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form for dette dokumentet.

Den tidligste indiske matematikeren som vi har viss kunnskap om, er Aryabhatta, som blomstret rundt begynnelsen av det 6. århundre av vår tid. Denne astronomens og matematikernes berømmelse hviler på arbeidet hans, the Aryabhattiyam, det tredje kapittelet er viet til matematikk. Ganessa, en fremtredende astronom, matematiker og scholiast av Bhaskara, siterer dette verket og nevner separat cuttaca ("pulveriser"), en enhet for å utføre løsningen av ubestemte ligninger. Henry Thomas Colebrooke, en av de tidligste moderne etterforskerne av hinduisk vitenskap, antar at avhandlingen av Aryabhatta utvidet til å bestemme kvadratiske ligninger, ubestemte ligninger av den første graden, og sannsynligvis av sekund. Et astronomisk verk, kalt Surya-siddhanta ("kunnskap om sola"), om usikkert forfatterskap og sannsynligvis tilhører det 4. eller 5. århundre, ble vurdert av stor fortjeneste av hinduene, som rangerte det bare på andreplass for arbeidet til Brahmagupta, som blomstret rundt et århundre seinere. Det er av stor interesse for den historiske studenten, for den viser innflytelse fra gresk vitenskap på indisk matematikk i en periode før Aryabhatta. Etter et intervall på omtrent et århundre, hvor matematikken nådde sitt høyeste nivå, blomstrte det Brahmagupta (f. Ca. A.D. 598), hvis arbeid med tittelen Brahma-sphuta-siddhanta ("Det reviderte systemet av Brahma") inneholder flere kapitler viet til matematikk. Av andre indiske forfattere kan nevnes Cridhara, forfatteren av en Ganita-sara ("Quintessence of Calculation"), og Padmanabha, forfatteren av en algebra.

En periode med matematisk stagnasjon ser da ut til å ha hatt det indiske sinn i et intervall på flere århundrer, for verkene til den neste forfatteren i ethvert øyeblikk står, men lite i forkant av Brahmagupta. Vi viser til Bhaskara Acarya, hvis verk Siddhanta-ciromani ("Diadem of anastronomical System"), skrevet i 1150, inneholder to viktige kapitler, Lilavati ("the vakre [vitenskap eller kunst] ") og Viga-ganita (" rotekstraksjon "), som er gitt opp til aritmetikk og algebra.

Engelsk oversettelser av de matematiske kapitlene i Brahma-siddhanta og Siddhanta-ciromani av H. T. Colebrooke (1817), og av Surya-siddhanta Ha det. Burgess, med merknader av W. D. Whitney (1860), kan konsulteres for detaljer.

Spørsmålet om grekere lånte algebraen sin fra hinduene eller omvendt har vært gjenstand for mye diskusjon. Det er ingen tvil om at det var en konstant trafikk mellom Hellas og India, og det er mer enn sannsynlig at en utveksling av produkter ville bli ledsaget av en overføring av ideer. Moritz Cantor mistenker påvirkningen av diofantinske metoder, nærmere bestemt på hinduene løsninger av ubestemte ligninger, der visse tekniske termer med stor sannsynlighet er av Gresk opprinnelse. Men dette kan være, det er sikkert at hinduistiske algebraister var langt i forveien for Diophantus. Manglene ved den greske symbolikken ble delvis avhjulpet; subtraksjon ble betegnet ved å plassere en prikk over subtrahend; multiplikasjon, ved å plassere bha (en forkortelse av bhavita, "produktet") etter factom; inndeling, ved å plassere divisoren under utbyttet; og kvadratrot, ved å sette inn ka (en forkortelse av karana, irrasjonell) før mengden. Det ukjente ble kalt yavattavat, og hvis det var flere, tok de første denne betegnelsen, og de andre ble betegnet med fargenavn; for eksempel ble x betegnet med ya og y av ka (fra kalaka, svart).

Fortsettes på side fire.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra utgaven fra 1911 av et leksikon, som er opphavsrettslig her i USA Artikkelen er i det offentlige, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette arbeidet som du ser passe.

Vi har gjort alt vi prøver å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form for dette dokumentet.

En betydelig forbedring av ideene til Diophantus er å finne i det faktum at hinduene anerkjente eksistensen av to røtter av en kvadratisk ligning, men de negative røttene ble ansett for å være utilstrekkelige, siden det ikke ble funnet noen tolkning for dem. Det antas også at de forventet funn av løsningene i høyere likninger. Store fremskritt ble gjort i studien av ubestemte ligninger, en gren av analyse der Diophantus utmerket seg. Men mens Diophantus hadde som mål å oppnå en enkelt løsning, strebet hinduene etter en generell metode der ethvert ubestemmelig problem kunne løses. I dette var de fullstendig vellykkede, for de fikk generelle løsninger for ligningene aks (+ eller -) med = c, xy = ax + by + c (siden gjenoppdaget av Leonhard Euler) og cy2 = ax2 + b. Et spesielt tilfelle av den siste ligningen, nemlig y2 = ax2 + 1, beskattet kraftig ressursene til moderne algebraister. Det ble foreslått av Pierre de Fermat til Bernhard Frenicle de Bessy, og i 1657 til alle matematikere. John Wallis og Lord Brounker oppnådde i fellesskap en kjedelig løsning som ble utgitt i 1658, og deretter i 1668 av John Pell i hans Algebra. En løsning ble også gitt av Fermat i hans forhold. Selv om Pell ikke hadde noe med løsningen å gjøre, har ettertiden kalt ligningen Pells likning, eller Problemet, når mer riktig det skal være Hindu Problemet, i anerkjennelse av matematiske oppnåelser av Brahmans.

Hermann Hankel har påpekt beredskapen som hinduene gikk fra antall til størrelsesorden og omvendt. Selv om denne overgangen fra den diskontinuerlige til kontinuerlige ikke er virkelig vitenskapelig, forsterker den likevel utviklingen av algebra, og Hankel bekrefter at hvis vi definerer algebra som anvendelsen av aritmetiske operasjoner til både rasjonelle og irrasjonelle tall eller størrelser, da er Brahmans de virkelige oppfinnerne av algebra.

Integrasjonen av de spredte stammene i Arabia på 700-tallet av den opprørende religiøse propaganda av Mahomet ble ledsaget av en meteorisk økning i intellektuelle krefter til en hittil uklar rase. Araberne ble forvaltere av indisk og gresk vitenskap, mens Europa ble leid av interne uenigheter. Under abbasidenes styre ble Bagdad sentrum for vitenskapelig tanke; leger og astronomer fra India og Syria strømmet til retten deres; Greske og indiske manuskripter ble oversatt (et verk påbegynt av kalifen Mamun (813-833) og ble videreført av hans etterfølgere); og på omtrent et århundre ble araberne plassert i besittelse av de store lagrene med gresk og indisk læring. Euclids elementer ble først oversatt i regjeringen til Harun-al-Rashid (786-809), og revidert etter Mamun-ordren. Men disse oversettelsene ble sett på som ufullkomne, og det gjensto for Tobit ben Korra (836-901) å produsere en tilfredsstillende utgave. Ptolemaios ' Almagest, verkene til Apollonius, Archimedes, Diophantus og deler av Brahmasiddhanta, ble også oversatt. Den første bemerkelsesverdige arabiske matematikeren var Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, som blomstret i regjeringen av Mamun. Hans avhandling om algebra og aritmetikk (sistnevnte del bare eksisterer i form av en latinsk oversettelse, oppdaget i 1857) inneholder ingenting som var ukjent for grekere og hinduer; den viser metoder knyttet til de fra begge raser, med det greske elementet dominerende. Delen som er viet til algebra har tittelen al-jeur wa'lmuqabala, og aritmetikken begynner med "Talt har Algoritmi," navnet Khwarizmi eller Hovarezmi har gått inn i ordet Algoritmi, som er blitt videre transformert til de mer moderne ordene algoritme og algoritme, som betyr en metode for databehandling.

Fortsettes på side fem.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra utgaven fra 1911 av et leksikon, som er opphavsrettslig her i USA Artikkelen er i det offentlige, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette arbeidet som du ser passe.

Vi har gjort alt vi prøver å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form for dette dokumentet.

Tobit ben Korra (836-901), født på Harran i Mesopotamia, en dyktig lingvist, matematiker og astronom, gjorde iøynefallende tjeneste ved sine oversettelser av forskjellige greske forfattere. Hans undersøkelse av egenskapene til minnelige tall (q.v.) og problemet med å trisse en vinkel, er av betydning. Arabierne lignet nærmere hinduene enn grekerne i valg av studier; deres filosofer blandet spekulative avhandlinger med den mer progressive medisinstudiet; deres matematikere forsømte spissfindighetene i koniske seksjoner og Diophantine-analyse, og anvendte seg mer spesielt for å perfeksjonere systemet med tall (se NUMERAL), aritmetikk og astronomi (q.v ..) Det ble dermed til at mens det ble gjort noen fremskritt innen algebra, ble løpets talenter tildelt astronomi og trigonometri (q.v ..) Fahri des al Karbi, som blomstret rundt begynnelsen av 1000-tallet, er forfatteren av det viktigste arabiske arbeidet med algebra. Han følger metodene til Diophantus; hans arbeid med ubestemmelige ligninger har ingen likhet med de indiske metodene, og inneholder ingenting som ikke kan samles fra Diophantus. Han løste kvadratiske ligninger både geometrisk og algebraisk, og også ligninger av formen x2n + axn + b = 0; han beviste også visse forhold mellom summen av de første n naturlige tallene, og summane av kvadratene og terningene deres.

Kubiske ligninger ble løst geometrisk ved å bestemme skjæringspunktene mellom kjeglesnitt. Archimedes 'problem med å dele en kule med et fly i to segmenter med et foreskrevet forhold, var først uttrykt som en kubisk ligning av Al Mahani, og den første løsningen ble gitt av Abu Gafar al Hazin. Bestemmelsen av siden av en vanlig heptagon som kan bli påskrevet eller omskrevet til a gitt sirkel ble redusert til en mer komplisert ligning som først ble vellykket løst av Abul Gud. Metoden for å løse ligninger geometrisk ble betydelig utviklet av Omar Khayyam fra Khorassan, som blomstret på 1000-tallet. Denne forfatteren stilte spørsmål ved muligheten for å løse kubikk ved ren algebra og biquadratikk etter geometri. Hans første påstand ble ikke motbevist før på 1400-tallet, men hans andre ble avhendt av Abul Weta (940-908), som lyktes i å løse formene x4 = a og x4 + ax3 = b.

Selv om grunnlagene for den geometriske oppløsningen av kubiske ligninger skal tilskrives grekerne (for Eutocius tildeler Menaechmus to metoder for å løse ligningen x3 = a og x3 = 2a3), men arabernes etterfølgende utvikling må betraktes som en av de viktigste prestasjoner. Grekerne hadde lyktes med å løse et isolert eksempel; araberne oppnådde den generelle løsningen av numeriske ligninger.

Betydelig oppmerksomhet har blitt rettet mot de forskjellige stilene som de arabiske forfatterne har behandlet emnet sitt. Moritz Cantor har antydet at det på en gang eksisterte to skoler, den ene i sympati med grekerne, den andre med hinduene; og at selv om skriftene til sistnevnte først ble studert, ble de raskt forkastet for de mer perspektive greskiske metodene, så at blant de senere arabiske forfatterne ble de indiske metodene praktisk talt glemt og deres matematikk ble i det vesentlige gresk i karakter.

Når vi vender oss mot araberne i Vesten, finner vi den samme opplyste ånden; Cordova, hovedstaden i det mauriske imperiet i Spania, var like mye et læringssenter som Bagdad. Den tidligste kjente spanske matematikeren er Al Madshritti (d. 1007), hvis berømmelse hviler på en avhandling om minnelige tall, og på skolene som ble grunnlagt av hans elever ved Cordoya, Dama og Granada. Gabir ben Allah fra Sevilla, ofte kalt Geber, var en berømt astronom og tilsynelatende dyktig i algebra, for det har antatt at ordet "algebra" er sammensatt fra hans navn.

Da det mauriske imperiet begynte å avta de strålende intellektuelle gavene som de hadde fått så rikelig næring i løpet av tre eller fire århundrer ble svak, og etter den perioden klarte de ikke å produsere en forfatter som var sammenlignbar med den fra den 7. til den 11. århundrer.

Fortsettes på side seks.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra utgaven fra 1911 av et leksikon, som er opphavsrettslig her i USA Artikkelen er i det offentlige, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette arbeidet som du ser passe.

Vi har gjort alt vi prøver å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form for dette dokumentet.