Matematiske egenskaper for bølger

Fysiske bølger, eller mekaniske bølger, dannes gjennom vibrasjon av et medium, det være seg en streng, jordskorpen eller partikler av gasser og væsker. Bølger har matematiske egenskaper som kan analyseres for å forstå bølgenes bevegelse. Denne artikkelen introduserer disse generelle bølgeegenskapene, i stedet for hvordan de kan brukes i spesifikke fysiske situasjoner.

Det er to typer mekaniske bølger.

A er slik at forskyvningene av mediet er vinkelrett (tverrgående) mot bølgens kjøreretning langs mediet. Å vibrere en streng i periodisk bevegelse, slik at bølgene beveger seg langs den, er en tverrbølge, og det samme er bølger i havet.

EN langsgående bølge er slik at forskyvningene av mediet er frem og tilbake i samme retning som selve bølgen. Lydbølger, der luftpartiklene skyves med i kjøreretningen, er et eksempel på en langsgående bølge.

Selv om bølgene omtalt i denne artikkelen vil referere til reiser i et medium, kan matematikken som er introdusert her, brukes til å analysere egenskaper til ikke-mekaniske bølger. Elektromagnetisk stråling er for eksempel i stand til å reise gjennom tomt rom, men har likevel de samme matematiske egenskapene som andre bølger. For eksempel

1. Bølger kan sees på som en forstyrrelse i mediet rundt en likevektstilstand, som vanligvis er i ro. Energien til denne forstyrrelsen er det som forårsaker bølgebevegelsen. En vannbasseng er i likevekt når det ikke er bølger, men så snart en stein kastes i den forstyrres partikelenes likevekt og bølgebevegelsen begynner.
2. Forstyrrelsen av bølgen reiser, eller utbreder seg, med en bestemt hastighet, kalt bølgehastighet (v).
3. Bølger transporterer energi, men ikke noe. Selve mediet reiser ikke; de enkelte partiklene gjennomgår frem og tilbake eller opp og ned bevegelse rundt likevektsposisjonen.

For å matematisk beskrive bølgebevegelse, refererer vi til begrepet a bølgefunksjon, som når som helst beskriver posisjonen til en partikkel i mediet. Den mest grunnleggende av bølgefunksjonene er sinusbølgen, eller sinusformet bølge, som er en periodisk bølge (dvs. en bølge med repeterende bevegelse).

Det er viktig å merke seg at bølgefunksjonen ikke skildrer den fysiske bølgen, men at den snarere er en graf over forskyvningen om likevektsposisjonen. Dette kan være et forvirrende konsept, men det nyttige er at vi kan bruke en sinusbølge for å skildre mest periodiske bevegelser, for eksempel å bevege seg i en sirkel eller svinge en pendel, som ikke nødvendigvis ser bølgelignende ut når du ser på det faktiske bevegelse.

• bølgehastighet (v) - hastigheten på bølgenes forplantning
• amplitude (EN) - den maksimale størrelsen på forskyvningen fra likevekt, i SI-enheter på meter. Generelt er det avstanden fra likevektets midtpunkt for bølgen til dens maksimale forskyvning, eller det er halvparten av den totale forskyvningen av bølgen.
• periode (T) - er tiden for en bølgesyklus (to pulser, eller fra crest til crest eller trau til trog), i SI-enheter på sekunder (selv om det kan bli referert til som "sekunder per syklus").
• Frekvens (f) - antall sykluser i en tidsenhet. SI-frekvensenheten er hertz (Hz) og

  1 Hz = 1 syklus / s = 1 s^-1

• kantfrekvens (ω) - er 2π ganger frekvensen, i SI-enheter av radianer per sekund.
• bølgelengde (λ) - avstanden mellom to punkter på tilsvarende posisjoner på suksessive repetisjoner i bølgen, slik at du (for eksempel) fra den ene kammen eller trugen til den neste, i SI-enheter av meter.
• bølgetall (k) - også kalt forplantningskonstant, er denne nyttige mengden definert som 2 π delt på bølgelengden, slik at SI-enhetene er radianer per meter.
• puls - en halv bølgelengde, fra likevekt tilbake

Noen nyttige ligninger for å definere ovennevnte mengder er:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Den vertikale posisjonen til et punkt på bølgen, y, kan bli funnet som en funksjon av den horisontale posisjonen, x, og tiden, t, når vi ser på det. Vi takker de snille matematikerne for å gjøre dette arbeidet for oss, og skaffer oss følgende nyttige ligninger for å beskrive bølgebevegelsen:

y(x, t) = EN synd ω(t - x/v) = EN synd 2π f(t - x/v)

y(x, t) = EN synd 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = EN synd (ω t - kx)

Et siste trekk ved bølgefunksjonen er å bruke kalkulus å ta det andre derivatet gir bølgeforlikning, som er et spennende og noen ganger nyttig produkt (som vi nok en gang vil takke matematikerne for og akseptere uten å bevise det):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Det andre derivatet av y med respekt for x tilsvarer det andre derivatet av y med respekt for t delt på bølgehastigheten i kvadratet. Den viktigste bruken av denne ligningen er den når den oppstår, vet vi at funksjonen y fungerer som en bølge med bølgehastighet v og derfor, situasjonen kan beskrives ved hjelp av bølgefunksjonen.