To-dimensjonal kinematikk: bevegelse i et fly

Denne artikkelen skisserer de grunnleggende konseptene som er nødvendige for å analysere bevegelse av objekter i to dimensjoner, uten hensyn til kreftene som forårsaker akselerasjonen. Et eksempel på denne typen problemer kan være å kaste en ball eller skyte en kanonkule. Det forutsetter en kjennskap til endimensjonal kinematikk, ettersom den utvider de samme konseptene til et todimensjonalt vektorrom.

Kinematikk innebærer forskyvning, hastighet og akselerasjon som alle er vektormengder som krever både en styrke og retning. For å begynne et problem i todimensjonal kinematikk må du først definere koordinatsystem du bruker. Generelt vil det være i form av en x-akse og a y-akse, orientert slik at bevegelsen er i positiv retning, selv om det kan være noen omstendigheter der dette ikke er den beste metoden.

I tilfeller der tyngdekraften vurderes, er det vanlig å gjøre tyngderetningen negativt -y retning. Dette er en konvensjon som generelt forenkler problemet, selv om det ville være mulig å utføre beregningene med en annen retning hvis du virkelig ønsket det.

Posisjonsvektoren r er en vektor som går fra koordinatsystemets opprinnelse til et gitt punkt i systemet. Endring i stilling (Δr, uttales "Delta r") er forskjellen mellom startpunktet (r₁) til sluttpunkt (r₂). Vi definerer gjennomsnittlig hastighet (v_av) som:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Tar grensen som Δt tilnærminger 0, oppnår vi øyeblikkelig hastighetv. I kalkulasjonsmessige termer er dette derivatet av r med respekt for t, eller dr/dt.

Når forskjellen i tid reduseres, beveger start- og sluttpunktene seg nærmere hverandre. Siden retningen av r er samme retning som v, blir det klart at den øyeblikkelige hastighetsvektoren på hvert punkt langs banen er tangent til banen.

Det nyttige trekk ved vektormengder er at de kan deles opp i komponentvektorene deres. Derivatet av en vektor er summen av komponentderivater, derfor:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Størrelsen på hastighetsvektoren er gitt av Pythagorean Theorem i formen:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Retningen av v er orientert alfa grader mot klokken fra klokken x-komponent, og kan beregnes ut fra følgende ligning:

tan alfa = v_y / v_x

Akselerasjon er hastighetsendringen over et gitt tidsrom. I likhet med analysen over finner vi at den er Δv/Δt. Grensen for dette som Δt tilnærminger 0 gir derivatet av v med respekt for t.

Når det gjelder komponenter, kan akselerasjonsvektoren skrives som:

en_x = dv_x/dt
en_y = dv_y/dt

eller

en_x = d²x/dt²
en_y = d²y/dt²

Størrelsen og vinkelen (betegnet som beta å skille fra alfa) av netteakselerasjonsvektoren beregnes med komponenter på en måte som ligner de for hastighet.

Ofte innebærer todimensjonal kinematikk å bryte de relevante vektorene inn i deres x- og y-komponenter, og deretter analysere hver av komponentene som om de var endimensjonale tilfeller. Når denne analysen er fullført, blir komponentene av hastighet og / eller akselerasjon deretter kombinert sammen igjen for å oppnå de resulterende todimensjonale hastighets- og / eller akselerasjonsvektorer.

Ovennevnte ligninger kan alle utvides for bevegelse i tre dimensjoner ved å legge til en z-komponent til analysen. Dette er generelt ganske intuitivt, selv om det må sørges for å sørge for at dette gjøres i riktig format, spesielt med tanke på beregning av vektorens orienteringsvinkel.

Redigert av Anne Marie Helmenstine, ph.d.