Ikke alle uendelige sett er like. En måte å skille mellom disse settene er ved å spørre om settet er tellbart uendelig eller ikke. På denne måten sier vi at uendelige sett enten er tellbare eller utellelige. Vi vil vurdere flere eksempler på uendelige sett og bestemme hvilke av disse som er utellelige.
Antall uendelig
Vi begynner med å utelukke flere eksempler på uendelige sett. Mange av de uendelige settene som vi umiddelbart ville tenke på, er funnet å være utallige uendelige. Dette betyr at de kan settes i en-til-en-korrespondanse med de naturlige tallene.
De naturlige tallene, heltall og rasjonelle tall er alle utallige. Enhver forening eller kryss mellom utallige uendelige sett er også tellbar. Det kartesiske produktet av et antall tellbare sett er tellbart. Alle delmengder i et tellbart sett er også tellbare.
Utellelig
Den vanligste måten intellbare sett blir introdusert på er å vurdere intervallet (0, 1) til reelle tall. Fra dette faktum, og en-til-en-funksjonen f( x ) = bx + en. det er en grei følge å vise at ethvert intervall (en, b) av reelle tall er utruleg uendeleg.
Hele settet med reelle tall er også utellelig. En måte å vise dette på er å bruke tangentfunksjonen en-til-en f ( x ) = solbrun x. Domenet til denne funksjonen er intervallet (-π / 2, π / 2), et utellelig sett, og området er settet med alle reelle tall.
Andre uforglemmelige sett
Operasjonene til grunnleggende settteori kan brukes til å produsere flere eksempler på utallige uendelige sett:
- Hvis EN er en undergruppe av B og EN er utellelig, så er det også B. Dette gir et mer rettferdig bevis på at hele settet med reelle tall er utellelig.
- Hvis EN er utellelig og B er noe sett, så forbundet EN U B er også utellelig.
- Hvis EN er utellelig og B er et hvilket som helst sett, så det Cartesianske produktet EN x B er også utellelig.
- Hvis EN er uendelig (selv telelig uendelig) enn kraftsett av EN er utellelig.
To andre eksempler som er relatert til hverandre er noe overraskende. Ikke alle undergrupper av de reelle tallene er utruleg uendelig (de rasjonelle tallene danner faktisk en tellbar undergruppe av realene som også er tette). Enkelte undergrupper er utallige uendelige.
En av disse utallige ubegrensede undergruppene inkluderer visse typer desimalutvidelser. Hvis vi velger to tall og danner alle mulige desimalutvidelser med bare disse to sifrene, er det resulterende uendelige settet utellelig.
Et annet sett er mer komplisert å konstruere og er også utellelig. Start med det lukkede intervallet [0,1]. Fjern den midterste tredjedelen av dette settet, noe som resulterer i [0, 1/3] U [2/3, 1]. Fjern nå den midterste tredjedelen av hver av de gjenværende delene av settet. Så (1/9, 2/9) og (7/9, 8/9) er fjernet. Vi fortsetter på denne måten. Sett med punkter som gjenstår etter at alle disse intervallene er fjernet, er ikke et intervall, men det er utruleg uendelig. Dette settet kalles kantorsettet.
Det er uendelig mange utallige sett, men eksemplene ovenfor er noen av de vanligste settene.