Å telle kan virke som en enkel oppgave å utføre. Når vi går dypere inn i området til matematikk kjent som kombinatorikk, innser vi at vi kommer over noen store tall. Siden fakultet dukker opp så ofte, og et tall som 10! er større enn tre million, kan telleproblemer bli veldig kompliserte hvis vi prøver å liste opp alle mulighetene.
Noen ganger når vi vurderer alle mulighetene som telleproblemene våre kan ta på seg, er det lettere å tenke gjennom de underliggende prinsippene for problemet. Denne strategien kan ta mye kortere tid enn å prøve brute force å liste ut et antall kombinasjoner eller permutasjoner.
Spørsmålet "Hvor mange måter kan noe gjøres?" er et helt annet spørsmål helt fra "Hva er måtene at noe kan gjøres? "Vi vil se denne ideen på jobb i følgende sett med utfordrende telling problemer.
Følgende sett med spørsmål involverer ordet TRIANGLE. Merk at det er totalt åtte bokstaver. La det forstås at vokaler av ordet TRIANGLE er AEI, og konsonantene til ordet TRIANGLE er LGNRT. For en virkelig utfordring, før du leser videre, sjekk ut en versjon av disse problemene uten løsninger.
Problemene
- Hvor mange måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes?
Løsning: Her er det totalt åtte valg for den første bokstaven, syv for den andre, seks for den tredje, og så videre. Etter multiplikasjonsprinsippet multipliserer vi for totalt 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40,320 forskjellige måter. - Hvor mange måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes hvis de tre første bokstavene må være RAN (i nøyaktig rekkefølge)?
Løsning: De tre første bokstavene er valgt for oss, og etterlater oss fem bokstaver. Etter RAN har vi fem valg for neste bokstav etterfulgt av fire, deretter tre, deretter to og ett. Etter multiplikasjonsprinsippet er det 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 måter å ordne bokstavene på en spesifikk måte. - Hvor mange måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes hvis de tre første bokstavene må være RAN (i hvilken som helst rekkefølge)?
Løsning: Se på dette som to uavhengige oppgaver: den første ordner bokstavene RAN, og den andre ordner de andre fem bokstavene. Det er 3! = 6 måter å arrangere RAN og 5! Måter å ordne de fem andre bokstavene på. Så det er totalt 3! x 5! = 720 måter å ordne bokstavene til TRIANGLE som spesifisert. - Hvor mange måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes hvis de tre første bokstavene må være RAN (i hvilken som helst rekkefølge) og den siste bokstaven må være en vokal?
Løsning: Se på dette som tre oppgaver: den første ordner bokstavene RAN, den andre velger en vokal ut av I og E, og den tredje arrangerer de andre fire bokstavene. Det er 3! = 6 måter å ordne RAN på, 2 måter å velge en vokal fra de gjenværende bokstavene og 4! Måter å ordne de fire andre bokstavene på. Så det er totalt 3! X 2 x 4! = 288 måter å ordne bokstavene til TRIANGLE som spesifisert. - Hvor mange måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes hvis de tre første bokstavene må være RAN (i hvilken som helst rekkefølge) og de neste tre bokstavene må være TRI (i hvilken som helst rekkefølge)?
Løsning: Igjen har vi tre oppgaver: den første ordner bokstavene RAN, den andre ordner bokstavene TRI, og den tredje arrangerer de to andre bokstavene. Det er 3! = 6 måter å arrangere RAN, 3! måter å ordne TRI på og to måter å ordne de andre bokstavene på. Så det er totalt 3! x 3! X 2 = 72 måter å ordne bokstavene i TRIANGLE som angitt. - Hvor mange forskjellige måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes hvis rekkefølgen og plasseringen av vokalene IAE ikke kan endres?
Løsning: De tre vokalene må holdes i samme rekkefølge. Nå er det totalt fem konsonanter å arrangere. Dette kan gjøres i 5! = 120 måter. - Hvor mange forskjellige måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes hvis rekkefølgen på vokalene IAE ikke kan endres, selv om deres plassering kan (IAETRNGL og TRIANGEL er akseptable, men EIATRNGL og TRIENGLA er ikke)?
Løsning: Dette er best tenkt på i to trinn. Trinn en er å velge stedene som vokalene går. Her plukker vi tre steder av åtte, og rekkefølgen på at vi gjør dette er ikke viktig. Dette er en kombinasjon og det er totalt C(8,3) = 56 måter å utføre dette trinnet. De resterende fem bokstavene kan ordnes i 5! = 120 måter. Dette gir totalt 56 x 120 = 6720 ordninger. - Hvor mange forskjellige måter kan bokstavene i ordet TRIANGLE ordnes hvis rekkefølgen på vokalene IAE kan endres, selv om deres plassering kanskje ikke er?
Løsning: Dette er egentlig det samme som nr. 4 ovenfor, men med forskjellige bokstaver. Vi ordner tre bokstaver i 3! = 6 måter og de andre fem bokstavene på 5! = 120 måter. Det totale antall måter for dette arrangementet er 6 x 120 = 720. - Hvor mange forskjellige måter kan seks bokstaver i ordet TRIANGLE ordnes?
Løsning: Siden vi snakker om en ordning, er dette en permutasjon og det er totalt P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 måter. - Hvor mange forskjellige måter kan seks bokstaver i ordet TRIANGLE ordnes hvis det må være et like stort antall vokaler og konsonanter?
Løsning: Det er bare en måte å velge vokalene vi skal plassere. Valg av konsonanter kan gjøres i C(5, 3) = 10 måter. Det er da 6! måter å ordne de seks bokstavene på. Multipliser disse tallene for resultatet av 7200. - Hvor mange forskjellige måter kan seks bokstaver i ordet TRIANGLE ordnes hvis det må være minst en konsonant?
Løsning: Hvert arrangement på seks bokstaver tilfredsstiller betingelsene, slik det er P(8, 6) = 20,160 måter. - Hvor mange forskjellige måter kan seks bokstaver i ordet TRIANGLE ordnes hvis vokalene må veksle med konsonanter?
Løsning: Det er to muligheter, den første bokstaven er en vokal eller den første bokstaven er en konsonant. Hvis den første bokstaven er en vokal, har vi tre valg, etterfulgt av fem for en konsonant, to for en andre vokal, fire for en annen konsonant, en for den siste vokalen og tre for den siste konsonanten. Vi multipliserer dette for å oppnå 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Ved symmetriargumenter er det samme antall ordninger som begynner med en konsonant. Dette gir totalt 720 ordninger. - Hvor mange forskjellige sett med fire bokstaver kan dannes fra ordet TRIANGLE?
Løsning: Siden vi snakker om a sett av fire bokstaver fra totalt åtte, er rekkefølgen ikke viktig. Vi må beregne kombinasjonen C(8, 4) = 70. - Hvor mange forskjellige sett med fire bokstaver kan dannes fra ordet TRIANGLE som har to vokaler og to konsonanter?
Løsning: Her danner vi settet vårt i to trinn. Det er C(3, 2) = 3 måter å velge to vokaler av totalt 3. Det er C(5, 2) = 10 måter å velge konsonanter fra de fem tilgjengelige. Dette gir totalt 3x10 = 30 sett mulig. - Hvor mange forskjellige sett med fire bokstaver kan dannes fra ordet TRIANGLE hvis vi vil ha minst en vokal?
Løsning: Dette kan beregnes som følger:
- Antall sett med fire med en vokal er C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
- Antall sett på fire med to vokaler er C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
- Antall sett på fire med tre vokaler er C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.
Dette gir totalt 65 forskjellige sett. Alternativt kan vi beregne at det er 70 måter å danne et sett på med fire bokstaver, og trekke fra C(5, 4) = 5 måter å skaffe et sett uten vokaler på.