Hva er skeivheten til en eksponentiell distribusjon?

Felles parametere til sannsynlighetsfordeling inkluderer gjennomsnitt og standardavvik. Gjennomsnittet gir en måling av sentrum og standardavviket forteller hvor spredt distribusjonen er. I tillegg til disse velkjente parametrene, er det andre som gjør oppmerksom på andre funksjoner enn spredningen eller sentrum. En slik måling er den av skjevhet. Skewness gir en måte å knytte en numerisk verdi til asymmetrien til en distribusjon.

En viktig distribusjon som vi vil undersøke er eksponentiell distribusjon. Vi vil se hvordan vi kan bevise at skeivheten til en eksponentiell distribusjon er 2.

Vi begynner med å oppgi sannsynlighetstetthetsfunksjonen for en eksponentiell fordeling. Disse distribusjonene har hver en parameter som er relatert til parameteren fra det relaterte Poisson prosess. Vi betegner denne distribusjonen som Exp (A), der A er parameteren. Sannsynlighetstetthetsfunksjonen for denne fordelingen er:

f(x) = e^-x/EN/ A, hvor x er ikke negativ.

Her e er det matematiske konstant e det er omtrent 2.718281828. Gjennomsnitts- og standardavviket for eksponentiell distribusjon Exp (A) er begge relatert til parameteren A. Faktisk er gjennomsnittet og standardavviket lik A.

Skewness er definert av et uttrykk relatert til det tredje øyeblikket om middelverdien. Dette uttrykket er den forventede verdien:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Vi erstatter μ og σ med A, og resultatet er at skjevheten er E [X³] / A³ – 4.

Det eneste som gjenstår er å beregne den tredje øyeblikk om opphavet. For dette må vi integrere følgende:

∫^∞₀x³f(x) dx.

Dette integralet har en uendelig for en av sine grenser. Dermed kan det evalueres som en type I feil integral. Vi må også bestemme hvilken integrasjonsteknikk vi skal bruke. Siden funksjonen for å integrere er produktet av en polynom og eksponentiell funksjon, ville vi trenge å bruke integrering av deler. Denne integrasjonsteknikken brukes flere ganger. Sluttresultatet er at:

E [X³] = 6A³

Vi kombinerer dette deretter med vår forrige ligning for skjevheten. Vi ser at skeivheten er 6 - 4 = 2.

Det er viktig å merke seg at resultatet er uavhengig av den spesifikke eksponentielle distribusjonen vi starter med. Skjevheten i eksponentiell distribusjon er ikke avhengig av verdien av parameteren A.

Videre ser vi at resultatet er en positiv skjevhet. Dette betyr at fordelingen er skjev til høyre. Dette bør ikke komme som noen overraskelse da vi tenker på formen til grafen for sannsynlighetsdensitetsfunksjonen. Alle slike fordelinger har y-avskjæring som 1 // theta og en hale som går helt til høyre i grafen, tilsvarende høye verdier for variabelen x.

Selvfølgelig skal vi også nevne at det er en annen måte å beregne skjevhet på. Vi kan bruke øyeblikkegenererende funksjon for eksponentiell distribusjon. Det første derivatet av øyeblikk genererende funksjon evaluert til 0 gir oss E [X]. Tilsvarende gir det tredje derivatet av øyeblikksgenererende funksjon når det evalueres til 0 oss E (X³].