En måte å beregne gjennomsnittet og variansen til a sannsynlighetsfordeling er å finne forventede verdier av de tilfeldige variablene X og X2. Vi bruker notasjonen E(X) og E(X2) for å betegne disse forventede verdiene. Generelt er det vanskelig å beregne E(X) og E(X2) direkte. For å komme oss rundt denne vanskeligheten bruker vi litt mer avansert matematisk teori og kalkulus. Sluttresultatet er noe som gjør beregningene våre enklere.
Strategien for dette problemet er å definere en ny funksjon, av en ny variabel t det kalles øyeblikk genererende funksjon. Denne funksjonen lar oss beregne momenter ved ganske enkelt å ta derivater.
Antagelser
Før vi definerer øyeblikksgenererende funksjon, begynner vi med å sette scenen med notasjon og definisjoner. Vi la X være en diskret tilfeldig variabel. Denne tilfeldige variabelen har sannsynlighetsmassefunksjonen f(x). Eksempelområdet vi jobber med vil bli betegnet med S.
Heller enn å beregne forventet verdi av X, ønsker vi å beregne den forventede verdien av en eksponentiell funksjon relatert til
X. Hvis det er en positiv ekte nummerr slik at E(etX) eksisterer og er begrenset for alle t i intervallet [-r, r], så kan vi definere øyeblikksgenererende funksjon av X.Definisjon
Det øyeblikk som genererer funksjonen er den forventede verdien av eksponentiell funksjon ovenfor. Med andre ord, vi sier at øyeblikket genererer funksjon av X er gitt av:
M(t) = E(etX)
Denne forventede verdien er formelen Σ etxf (x), der summeringen blir overtatt alle x i prøveplassS. Dette kan være en begrenset eller uendelig sum, avhengig av prøveområdet som blir brukt.
Eiendommer
Det øyeblikk som genererer funksjonen har mange funksjoner som kobles til andre emner innen sannsynlighet og matematisk statistikk. Noen av de viktigste funksjonene inkluderer:
- Koeffisienten av etb er sannsynligheten for at X = b.
- Moment genererende funksjoner har en unikhet. Hvis det øyeblikk som genererer funksjoner for to tilfeldige variabler samsvarer med hverandre, må sannsynlighetsmassefunksjonene være de samme. Med andre ord, de tilfeldige variablene beskriver den samme sannsynlighetsfordelingen.
- Momentgenererende funksjoner kan brukes til å beregne momenter av X.
Beregner øyeblikk
Det siste elementet i listen over forklarer navnet på øyeblikkegenererende funksjoner og også deres nytte. Noe avansert matematikk sier at under de forhold som vi la ut, avledet av hvilken som helst rekkefølge av funksjonen M (t) eksisterer for når t = 0. Videre, i dette tilfellet, kan vi endre rekkefølgen av summering og differensiering mht t for å få følgende formler (alle summeringer er over verdiene til x i prøveområdet S):
- M’(t) = Σ xetxf (x)
- M’’(t) = Σ x2etxf (x)
- M’’’(t) = Σ x3etxf (x)
- M(N)’(t) = Σ xnetxf (x)
Hvis vi setter t = 0 i formlene ovenfor, deretter etx begrep blir e0 = 1. Dermed får vi formler for øyeblikkene til den tilfeldige variabelen X:
- M’(0) = E(X)
- M’’(0) = E(X2)
- M’’’(0) = E(X3)
- M(n)(0) = E(Xn)
Dette betyr at hvis den øyeblikkegenererende funksjonen eksisterer for en bestemt tilfeldig variabel, så kan vi finne dens middel og dens varians når det gjelder derivater av den øyeblikkegenererende funksjonen. Gjennomsnittet er M'(0), og variansen er M’’(0) – [M’(0)]2.
Sammendrag
Oppsummert måtte vi vade oss inn i noen ganske høydrevne matematikk, så noen ting ble glanset over. Selv om vi må bruke kalkulus for det ovennevnte, til slutt, er det matematiske arbeidet vanligvis enklere enn ved å beregne øyeblikkene direkte fra definisjonen.