Integrering av deler er en av mange integrasjonsteknikker som brukes i kalkulus. Denne integrasjonsmetoden kan tenkes å være en måte å angre produktregel. En av vanskelighetene med å bruke denne metoden er å bestemme hvilken funksjon i integranden vår som skal tilpasses hvilken del. LIPET-akronymet kan brukes til å gi noen veiledning for hvordan du deler opp delene av integralen vår.
Integrering av deler
Husk integreringsmetoden etter deler. Formelen for denne metoden er:
∫ u dv = uv - ∫ v du.
Denne formelen viser hvilken del av integranden som skal settes lik u, og hvilken del som skal settes lik dv. LIPET er et verktøy som kan hjelpe oss i dette arbeidet.
LIPET-forkortelsen
Ordet “LIPET” er et akronym, som betyr at hver bokstav står for et ord. I dette tilfellet representerer bokstavene forskjellige typer funksjoner. Disse identifikasjonene er:
- L = Logaritmisk funksjon
- I = Inverse trigonometrisk funksjon
- P = Polynomfunksjon
- E = Eksponentiell funksjon
- T = Trigonometrisk funksjon
Dette gir en systematisk liste over hva du skal prøve å sette lik
u i integrasjonen etter deler formel. Hvis det er en logaritmisk funksjon, kan du prøve å sette denne lik u, med resten av integranden lik dv. Hvis det ikke er logaritmiske eller omvendte trig-funksjoner, kan du prøve å stille et polynom lik u. Eksemplene nedenfor hjelper til med å tydeliggjøre bruken av dette akronymet.Eksempel 1
Tenk på ∫ x lnx dx. Siden det er en logaritmisk funksjon, sett denne funksjonen lik u = ln x. Resten av integranden er dv = x dx. Det følger at du = dx / x og det v = x2/ 2.
Denne konklusjonen kan bli funnet ved prøving og feiling. Det andre alternativet ville vært å stille u = x. Dermed du ville være veldig enkelt å beregne. Problemet oppstår når vi ser på dv = lnx. Integrer denne funksjonen for å bestemme v. Dessverre er dette et veldig vanskelig integral å beregne.
Eksempel 2
Vurder integralen integr x cos x dx. Begynn med de to første bokstavene i LIPET. Det er ingen logaritmiske funksjoner eller inverse trigonometriske funksjoner. Den neste bokstaven i LIPET, en P, står for polynomer. Siden funksjonen x er et polynom, sett u = x og dv = cos x.
Dette er det riktige valget å ta for integrering av deler som du = dx og v = synd x. Integralet blir:
x synd x - ∫ synd x dx.
Få integralet gjennom en enkel integrering av synd x.
Når LIPET mislykkes
Det er noen tilfeller der LIPET mislykkes, noe som krever innstilling u lik en annen funksjon enn den som er foreskrevet av LIPET. Av denne grunn bør dette akronymet bare tenkes som en måte å organisere tanker på. Forkortelsen LIPET gir oss også en oversikt over en strategi vi kan prøve når vi bruker integrasjon av deler. Det er ikke et matematisk teorem eller prinsipp som alltid er måten å jobbe gjennom en integrasjon etter deler problem.