Flere teoremer i sannsynlighet kan trekkes ut fra aksiomer av sannsynlighet. Disse teoremene kan brukes til å beregne sannsynligheter som vi kanskje ønsker å vite. Et slikt resultat er kjent som komplementregelen. Denne uttalelsen lar oss beregne sannsynligheten for en begivenhetEN ved å kjenne til sannsynligheten for komplementet ENC. Etter å ha angitt komplementregelen, vil vi se hvordan dette resultatet kan bevises.
Komplementeringsregelen
Komplementet til arrangementet EN er betegnet med ENC. Komplementet av EN er den sett av alle elementer i det universelle settet, eller prøveplass S, det er ikke elementer i settet EN.
Komplementeringsregelen er uttrykt ved følgende ligning:
P (ENC) = 1 - P (EN)
Her ser vi at sannsynligheten for en hendelse og sannsynligheten for dens komplement må summe til 1.
Bevis for kompletteringsregelen
For å bevise komplementregelen begynner vi med sannsynlighetens aksiomer. Disse uttalelsene antas uten bevis. Vi vil se at de kan brukes systematisk for å bevise vår uttalelse om sannsynligheten for komplement til en hendelse.
- Det første aksiomet til sannsynlighet er at sannsynligheten for en hvilken som helst hendelse er ikke-negativt ekte nummer.
- Det andre aksiomet av sannsynlighet er at sannsynligheten for hele prøveområdet S er en. Symbolisk skriver vi P (S) = 1.
- Det tredje sannsynlighetsakiomet sier at If EN og B er gjensidig utelukkende (noe som betyr at de har et tomt kryss), så oppgir vi sannsynligheten for forening av disse hendelsene som P (EN U B ) = P (EN) + P (B).
For komplementregelen trenger vi ikke å bruke det første aksiomet i listen over.
For å bevise uttalelsen vår vurderer vi hendelsene ENog ENC. Fra settteori vet vi at disse to settene har tomt kryss. Dette er fordi et element ikke samtidig kan være i begge deler EN og ikke i EN. Siden det er et tomt kryss, er disse to settene gjensidig utelukkende.
Foreningen mellom de to arrangementene EN og ENC er også viktig. Disse utgjør uttømmende hendelser, noe som betyr at union av disse hendelsene er hele prøven S.
Disse fakta, kombinert med aksiomene, gir oss ligningen
1 = P (S) = P (EN U ENC) = P (EN) + P (ENC) .
Den første likheten skyldes det andre sannsynlighetsaksiomet. Den andre likheten er fordi hendelsene EN og ENC er uttømmende. Den tredje likheten er på grunn av det tredje sannsynlighetsaksiomet.
Ligningen ovenfor kan omorganiseres til den formen som vi oppga ovenfor. Alt vi må gjøre er å trekke fra sannsynligheten for EN fra begge sider av ligningen. Dermed
1 = P (EN) + P (ENC)
blir ligningen
P (ENC) = 1 - P (EN).
Selvfølgelig kan vi også uttrykke regelen ved å si at:
P (EN) = 1 - P (ENC).
Alle disse tre likningene er like måter å si det samme på. Vi ser av dette beviset hvordan bare to aksiomer og noen settteori går en lang vei for å hjelpe oss med å bevise nye utsagn om sannsynlighet.