Slik bruker du utfyllingsregelen i statistikk

I statistikk er komplementregelen et teorem som gir en sammenheng mellom sannsynligheten for en begivenhet og sannsynligheten for komplementet til hendelsen på en slik måte at hvis vi kjenner en av disse sannsynlighetene, så kjenner vi automatisk den andre.

Komplementeringsregelen kommer godt med når vi beregner visse sannsynligheter. Mange ganger er sannsynligheten for en hendelse rotete eller komplisert å beregne, mens sannsynligheten for komplementet er mye enklere.

Før vi ser hvordan komplementregelen brukes, vil vi definere spesifikt hva denne regelen er. Vi begynner med litt notasjon. Komplementet til arrangementet EN, bestående av alle elementer i prøveplassS som ikke er elementer i settet EN, er betegnet med ENC.

Komplementeringsregelen er angitt som "summen av sannsynligheten for en hendelse og sannsynligheten for komplementet er lik 1," uttrykt ved følgende ligning:

P (EN^C) = 1 - P (EN)

Følgende eksempel viser hvordan du bruker komplementregelen. Det vil fremgå at dette teoremet både vil fremskynde og forenkle sannsynlighetsberegninger.

Anta at vi vipper åtte rettferdige mynter - hva er sannsynligheten for at vi har minst ett hode som viser? En måte å finne ut av dette er å beregne følgende sannsynligheter. Nevneren til hver blir forklart med at det er to⁸ = 256 utfall, hver av dem like sannsynlige. Alt av følgende oss en formel for kombinasjoner:

• Sannsynligheten for å snu nøyaktig ett hode er C (8,1) / 256 = 8/256.
• Sannsynligheten for å snu nøyaktig to hoder er C (8,2) / 256 = 28/256.
• Sannsynligheten for å snu nøyaktig tre hoder er C (8,3) / 256 = 56/256.
• Sannsynligheten for å snu nøyaktig fire hoder er C (8,4) / 256 = 70/256.
• Sannsynligheten for å snu nøyaktig fem hoder er C (8,5) / 256 = 56/256.
• Sannsynligheten for å snu nøyaktig seks hoder er C (8,6) / 256 = 28/256.
• Sannsynligheten for å snu nøyaktig syv hoder er C (8,7) / 256 = 8/256.
• Sannsynligheten for å snu nøyaktig åtte hoder er C (8,8) / 256 = 1/256.

Disse er gjensidig utelukkende hendelser, så vi summerer sannsynlighetene sammen ved å bruke en av de aktuelle tilleggsregel. Dette betyr at sannsynligheten for at vi har minst ett hode er 255 av 256.

Vi beregner nå den samme sannsynligheten ved å bruke komplementregelen. Komplementet til arrangementet "Vi vender minst ett hode" er hendelsen "Det er ingen hoder." Det er en måte for dette å skje, noe som gir oss sannsynligheten for 1/256. Vi bruker komplementregelen og finner ut at vår ønskede sannsynlighet er en minus en av 256, som er lik 255 av 256.

Dette eksemplet demonstrerer ikke bare nytten, men også kraften til komplementregelen. Selv om det ikke er noe galt med vår opprinnelige beregning, var den ganske involvert og krevde flere trinn. Derimot, når vi brukte komplementregelen for dette problemet, var det ikke så mange trinn der beregningene kunne gå galt.