Hvordan beregne Powerball-odds

Powerball er en multistat lotteri det er ganske populært på grunn av sine mange millioner dollar jackpotter. Noen av disse jackpottene når verdier som er godt over $ 100 millioner. Et interessant oppdrag fra a sannsynlighets forstand er, “Hvordan har det seg odds beregnet på sannsynligheten for vinne Powerball?”

Først vil vi undersøke reglene for Powerball slik det for øyeblikket er konfigurert. Under hver tegning blir to trommer fulle av baller grundig blandet og randomisert. Den første trommelen inneholder hvite baller nummerert 1 til 59. Fem trekkes uten erstatning fra denne trommelen. Den andre trommelen har røde baller som er nummerert fra 1 til 35. En av disse er tegnet. Formålet er å matche så mange av disse tallene som mulig.

Full jackpot vant når alle seks numrene som er valgt av en spiller, matcher perfekt med ballene som trekkes. Det er premier med mindre verdier for delvis matching, for totalt ni forskjellige måter å vinne noe dollarbeløp fra Powerball. Disse måtene å vinne på er:

• Når du matcher alle de fem hvite ballene og den røde ballen, vinner jackpotten til stor premie. Verdien av dette varierer avhengig av hvor lang tid det har gått siden noen har vunnet denne storslåtte prisen.
• Matching av alle fem hvite baller, men ikke den røde ballen, vinner $ 1.000.000.
• Matchende nøyaktig fire av de fem hvite ballene og den røde ballen vinner $ 10.000.
• Matching nøyaktig fire av de fem hvite ballene, men ikke den røde ballen, vinner $ 100.
• Å treffe nøyaktig tre av de fem hvite ballene og den røde ballen vinner $ 100.
• Å treffe nøyaktig tre av de fem hvite ballene, men ikke den røde ballen, vinner $ 7.
• Matchende to av de fem hvite ballene og den røde ballen vinner $ 7.
• Matching av nøyaktig en av de fem hvite ballene og den røde ballen vinner $ 4.
• Matchende bare den røde ballen, men ingen av de hvite ballene vinner $ 4.

Vi vil se på hvordan du beregner hver av disse sannsynlighetene. Gjennom disse beregningene er det viktig å merke seg at rekkefølgen på hvordan kulene kommer ut av trommelen ikke er viktig. Det eneste som betyr noe er settet med baller som blir trukket. Av denne grunn involverer beregningene våre kombinasjoner og ikke permutasjoner.

Totalt antall kombinasjoner som kan tegnes, er også nyttig i hver beregning nedenfor. Vi har fem valgt ut av de 59 hvite ballene, eller bruker notasjonen for kombinasjoner, C (59, 5) = 5,006,386 måter for dette å skje. Det er 35 måter å velge den røde ballen, noe som resulterer i 35 x 5,006,386 = 175,223,510 mulige valg.

Selv om jackpoten for å matche alle seks ballene er den vanskeligste å få tak i, er det den enkleste sannsynligheten å beregne. Av mange mulige valg, er det nøyaktig en måte å vinne jackpotten på. Dermed er sannsynligheten for at en spesiell billett vinner jackpotten 1/175 223 510.

For å vinne 1.000.000 dollar må vi matche de fem hvite ballene, men ikke de røde. Det er bare en måte å matche alle fem på. Det er 34 måter å ikke matche den røde ballen på. Så sannsynligheten for å vinne 1.000.000 dollar er 34 / 175.223.510, eller omtrent 1 / 5.163.633.

For en premie på 10.000 dollar, må vi matche fire av de fem hvite ballene og den røde. Det er C (5,4) = 5 måter å matche fire av de fem. Den femte ballen må være en av de resterende 54 som ikke ble trukket, og det er derfor C (54, 1) = 54 måter for dette å skje. Det er bare en måte å matche den røde ballen på. Dette betyr at det er 5 x 54 x 1 = 270 måter å matche nøyaktig fire hvite baller og den røde, noe som gir en sannsynlighet på 270 / 175.223.510, eller omtrent 1 / 648.976.

En måte å vinne en premie på $ 100 er å matche fire av de fem hvite ballene og ikke matche den røde. Som i forrige tilfelle er det C (5,4) = 5 måter å matche fire av de fem. Den femte ballen må være en av de resterende 54 som ikke ble trukket, og det er derfor C (54, 1) = 54 måter for dette å skje. Denne gangen er det 34 måter å ikke matche den røde ballen. Dette betyr at det er 5 x 54 x 34 = 9180 måter å matche nøyaktig fire hvite baller, men ikke de røde, noe som gir en sannsynlighet på 9180/175 223 510, eller omtrent 1 / 19,088.

En annen måte å vinne en premie på $ 100 er å matche nøyaktig tre av de fem hvite ballene og også matche den røde. Det er C (5,3) = 10 måter å matche tre av de fem. De resterende hvite ballene må være en av de resterende 54 som ikke ble trukket, og det er derfor C (54, 2) = 1431 måter for dette å skje. Det er en måte å matche den røde ballen på. Dette betyr at det er 10 x 1431 x 1 = 14,310 måter å matche nøyaktig tre hvite baller og den røde, noe som gir en sannsynlighet på 14.310 / 175.223.510, eller omtrent 1 / 12.245.

En måte å vinne en premie på $ 7 er å matche nøyaktig tre av de fem hvite ballene og ikke matche den røde. Det er C (5,3) = 10 måter å matche tre av de fem. De resterende hvite ballene må være en av de resterende 54 som ikke ble trukket, og det er derfor C (54, 2) = 1431 måter for dette å skje. Denne gangen er det 34 måter å ikke matche den røde ballen. Dette betyr at det er 10 x 1431 x 34 = 486,540 måter å matche nøyaktig tre hvite baller, men ikke den røde, noe som gir en sannsynlighet på 486.540 / 175.223.510, eller omtrent 1/360.

En annen måte å vinne en pris på $ 7 er å matche nøyaktig to av de fem hvite ballene og også matche den røde. Det er C (5,2) = 10 måter å matche to av de fem. De resterende hvite ballene må være en av de resterende 54 som ikke ble trukket, og det er derfor C (54, 3) = 24,804 måter for dette å skje. Det er en måte å matche den røde ballen på. Dette betyr at det er 10 x 24 804 x 1 = 248,040 måter å matche nøyaktig to hvite baller og den røde, noe som gir en sannsynlighet på 248.040 / 175.223.510, eller omtrent 1/706.

En måte å vinne en pris på $ 4 er å matche nøyaktig en av de fem hvite ballene og også matche den røde. Det er C (5,4) = 5 måter å matche en av de fem. De resterende hvite ballene må være en av de resterende 54 som ikke ble trukket, og det er derfor C (54, 4) = 316,251 måter dette kan skje. Det er en måte å matche den røde ballen på. Dette betyr at det er 5 x 316,251 x1 = 1,581,255 måter å matche nøyaktig en hvit ball og den røde, noe som gir en sannsynlighet på 1,581,255 / 175,223,510, eller omtrent 1/111.

En annen måte å vinne en pris på $ 4 er å matche ingen av de fem hvite ballene, men matche den røde. Det er 54 baller som ikke er noen av de fem utvalgte, og vi har C (54, 5) = 3,162,510 måter for dette å skje. Det er en måte å matche den røde ballen på. Dette betyr at det er 3 162 510 måter å matche ingen av ballene med unntak av den røde, noe som gir en sannsynlighet på 3.162.510 / 175.223.510, eller omtrent 1/55.

Denne saken er noe motsatt. Det er 36 røde baller, så vi kan tro at sannsynligheten for å matche en av dem vil være 1/36. Imidlertid forsømmer dette de andre forholdene som de hvite ballene pålegger. Mange kombinasjoner som inneholder riktig rød ball inkluderer også kamper på noen av de hvite ballene også.