Når du arbeider med settteori, er det en rekke operasjoner for å lage nye sett ut av gamle. En av de vanligste settoperasjonene kalles krysset. Enkelt sagt, skjæringspunktet mellom to sett EN og B er settet med alle elementene som begge deler EN og B har til felles.
Vi vil se på detaljer om skjæringspunktet i settteorien. Som vi vil se, er stikkordet her ordet "og".
Et eksempel
For et eksempel på hvordan skjæringspunktet mellom to sett danner en nytt sett, la oss vurdere settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For å finne skjæringspunktet mellom disse to settene, må vi finne ut hvilke elementer de har til felles. Tallene 3, 4, 5 er elementer i begge settene, derfor kryssene av EN og B er {3. 4. 5].
Notasjon for kryss
I tillegg til å forstå begrepene angående setteoridrift, er det viktig å kunne lese symboler som brukes til å betegne disse operasjonene. Symbolet for kryss erstattes noen ganger av ordet “og” mellom to sett. Dette ordet antyder den mer kompakte notasjonen for et veikryss som vanligvis brukes.
Symbolet som ble brukt for krysset mellom de to settene EN og B er gitt av EN ∩ B. En måte å huske at dette symbolet ∩ refererer til kryss er å legge merke til dets likhet med en hovedstad A, som er forkortelse for ordet "og".
For å se denne notasjonen i handling, se tilbake eksemplet ovenfor. Her hadde vi settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Så vi ville skrevet den faste ligningen EN ∩ B = {3, 4, 5}.
Kryss med det tomme settet
En grunnleggende identitet som involverer krysset viser oss hva som skjer når vi tar krysset mellom ethvert sett med det tomme settet, betegnet med # 8709. Det tomme settet er settet uten elementer. Hvis det ikke er elementer i minst ett av settene vi prøver å finne skjæringspunktet mellom, har de to settene ingen elementer til felles. Med andre ord skjæringspunktet mellom ethvert sett med det tomme settet vil gi oss det tomme settet.
Denne identiteten blir enda mer kompakt når vi bruker notasjonen vår. Vi har identiteten: EN ∩ ∅ = ∅.
Kryss med universalsettet
Hva skjer for det andre ekstreme når vi undersøker skjæringspunktet mellom et sett og det universelle settet? Ligner på hvordan ordet univers brukes i astronomi for å bety alt, det universelle settet inneholder alle elementer. Det følger at hvert element i vårt sett også er et element i det universelle settet. Dermed er skjæringspunktet mellom ethvert sett og det universelle settet settet som vi startet med.
Igjen er vår notasjon til unnsetning for å uttrykke denne identiteten mer kortfattet. For ethvert sett EN og det universelle settet U, EN ∩ U = EN.
Andre identiteter som involverer krysset
Det er mange flere faste ligninger som innebærer bruk av kryssoperasjonen. Selvfølgelig er det alltid godt å øve på bruker språket i settteorien. For alle sett EN, og B og D vi har:
- Refleksiv eiendom: EN ∩ EN =EN
- Kommutativ eiendom: EN ∩ B = B ∩ EN
- Assosiativ eiendom: (EN ∩ B) ∩ D =EN ∩ (B ∩ D)
- Distribusjonsegenskap: (EN ∪ B) ∩ D = (EN ∩ D)∪ (B ∩ D)
- DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)C = ENC ∪ BC
- DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)C = ENC ∩ BC