Helling av regresjonslinje og korrelasjonskoeffisient

Mange ganger i studien av statistikk Det er viktig å knytte forbindelser mellom forskjellige emner. Vi vil se et eksempel på dette der regresjonslinjens helling er direkte relatert til korrelasjonskoeffisient. Siden disse konseptene begge involverer rette linjer, er det bare naturlig å stille spørsmålet, "Hvordan er korrelasjonskoeffisienten og minst firkantet linje i slekt?"

Først skal vi se på litt bakgrunn angående begge disse emnene.

Det er viktig å huske detaljene knyttet til korrelasjonskoeffisienten, som er betegnet med r. Denne statistikken brukes når vi har sammenkoblet kvantitativ data. Fra en scatterplot av sammenkoblede data, kan vi se etter trender i den generelle distribusjonen av data. Noen sammenkoblede data viser et lineært eller rettlinjet mønster. Men i praksis faller aldri dataene nøyaktig langs en rett linje.

Flere mennesker ser på det samme scatterplot av sammenkoblede data ville være uenige om hvor nær det var å vise en generell lineær trend. Tross alt kan kriteriene våre for dette være noe subjektivt. Omfanget vi bruker kan også påvirke vår oppfatning av dataene. Av disse grunner og mer trenger vi et slags objektivt tiltak for å fortelle hvor nær våre sammenkoblede data er å være lineære. Korrelasjonskoeffisienten oppnår dette for oss.

Noen få grunnleggende fakta om r inkludere:

• Verdien av r varierer mellom et reelt tall fra -1 til 1.
• Verdier av r nær 0 antyder at det er liten eller ingen lineær sammenheng mellom dataene.
• Verdier av r nær 1 antyder at det er et positivt lineært forhold mellom dataene. Dette betyr at som x øker det y øker også.
• Verdier av r nær -1 antyder at det er et negativt lineært forhold mellom dataene. Dette betyr at som x øker det y avtar.

De to siste elementene i listen over peker oss mot skråningen til den minste kvadratlinjen med best passform. Husk at skråningen på en linje er et mål på hvor mange enheter den går opp eller ned for hver enhet vi beveger oss til høyre. Noen ganger er dette oppgitt som økningen av linjen delt på løpet, eller endringen i y verdier delt på endringen i x verdier.

Generelt har rette linjer bakker som er positive, negative eller null. Hvis vi skulle undersøke våre minst-kvadratiske regresjonslinjer og sammenligne de tilsvarende verdiene av r, vil vi legge merke til at hver gang dataene våre har en negativ korrelasjonskoeffisient, er regresjonslinjens helning negativ. Tilsvarende, for hver gang vi har en positiv korrelasjonskoeffisient, er regresjonslinjens helning positiv.

Det skal fremgå av denne observasjonen at det definitivt er en sammenheng mellom tegnet på korrelasjonskoeffisienten og skråningen på den minste kvadratlinjen. Det gjenstår å forklare hvorfor dette stemmer.

Årsaken til sammenhengen mellom verdien av r og skråningen til linjen med minste kvadrat har å gjøre med formelen som gir oss hellingen på denne linjen. For sammenkoblede data (x, y) vi betegner standardavvik av x data av s_x og standardavviket til y data av s_y.

Formelen for skråningen en av regresjonslinjen er:

• a = r (s_y/ s_x)

Beregningen av et standardavvik innebærer å ta den positive kvadratroten av et ikke-negativt tall. Som et resultat må begge standardavvikene i formelen for skråningen være ikke-negative. Hvis vi antar at det er en viss variasjon i dataene våre, vil vi kunne se bort fra muligheten for at ett av disse standardavvikene er null. Derfor vil tegnet på korrelasjonskoeffisienten være det samme som tegnet på skråningen til regresjonslinjen.