Betinget sannsynlighet: Notasjon og eksempler

Et greit eksempel på betinget sannsynlighet er sannsynligheten for at et kort trukket fra et standard kortstokk er en konge. Det er totalt fire konger av 52 kort, og derfor er sannsynligheten ganske enkelt 4/52. Beslektet med denne beregningen er følgende spørsmål: "Hva er sannsynligheten for at vi trekker en konge gitt det? har vi allerede trukket et kort fra kortstokken, og det er et ess? "Her vurderer vi innholdet på kortstokken kort. Det er fremdeles fire konger, men nå er det bare 51 kort i kortstokken. Sannsynligheten for å tegne en konge gitt at et ess allerede er trukket er 4/51.

Betinget sannsynlighet er definert som sannsynligheten for en hendelse gitt at en annen hendelse har skjedd. Hvis vi navngir disse hendelsene EN og B, så kan vi snakke om sannsynligheten for EN gitt B. Vi kan også referere til sannsynligheten for EN avhengig av B.

Notasjonen for betinget sannsynlighet varierer fra lærebok til lærebok. I alle notasjonene er indikasjonen at sannsynligheten vi viser til er avhengig av en annen hendelse. En av de vanligste notasjonene for sannsynligheten for

Det er en formel for betinget sannsynlighet som kobler dette til sannsynligheten for EN og B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

I hovedsak hva denne formelen sier er at for å beregne betinget sannsynlighet for hendelsen EN gitt arrangementet B, endrer vi prøveområdet til bare å være settet B. Når vi gjør dette, vurderer vi ikke alle hendelsene EN, men bare den delen av EN som også inngår i B. Settet vi nettopp beskrev, kan identifiseres i mer kjente termer som kryss av EN og B.

Vi kan bruke algebra å uttrykke formelen ovenfor på en annen måte:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Vi vil se på eksemplet vi startet med i lys av denne informasjonen. Vi vil vite sannsynligheten for å tegne en konge gitt at et ess allerede er trukket. Dermed hendelsen EN er at vi trekker en konge. Begivenhet B er at vi tegner et ess.

Sannsynligheten for at begge hendelser skjer og at vi tegner et ess og deretter en konge tilsvarer P (A ∩ B). Verdien av denne sannsynligheten er 12/2652. Sannsynligheten for hendelse B, at vi tegner et ess er 4/52. Dermed bruker vi den betingede sannsynlighetsformelen og ser at sannsynligheten for å tegne en konge gitt enn et ess er trukket er (16/2652) / (4/52) = 4/51.

For et annet eksempel vil vi se på sannsynlighetseksperimentet der vi rull to terninger. Et spørsmål som vi kan stille oss er: "Hva er sannsynligheten for at vi har rullet en tre, gitt at vi har rullet en sum på mindre enn seks?"

Her arrangementet EN er at vi har rullet en tre, og arrangementet B er at vi har rullet en sum mindre enn seks. Det er totalt 36 måter å rulle to terninger på. Av disse 36 måtene kan vi rulle en sum mindre enn seks på ti måter:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Det er noen tilfeller der betinget sannsynlighet for EN gitt arrangementet B er lik sannsynligheten for EN. I denne situasjonen sier vi at hendelsene EN og B er uavhengige av hverandre. Formelen ovenfor blir:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

og vi gjenoppretter formelen som for uavhengige hendelser sannsynligheten for begge EN og B blir funnet ved å multiplisere sannsynlighetene for hver av disse hendelsene:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Når to hendelser er uavhengige, betyr dette at den ene hendelsen ikke har noen innvirkning på den andre. Å snu en mynt og deretter en annen er et eksempel på uavhengige hendelser. Den ene myntflippen har ingen effekt på den andre.

Vær veldig nøye med å identifisere hvilken hendelse som avhenger av den andre. Generelt P (A | B) er ikke lik P (B | A). Det er sannsynligheten for EN gitt arrangementet B er ikke det samme som sannsynligheten for B gitt arrangementet EN.

I et eksempel ovenfor så vi at ved rullering av to terninger var sannsynligheten for å rulle en tre, gitt at vi har rullet en sum på mindre enn seks 4/10. På den annen side, hva er sannsynligheten for å rulle en sum mindre enn seks gitt at vi har rullet en tre? Sannsynligheten for å rulle en tre og en sum mindre enn seks er 4/36. Sannsynligheten for å rulle minst en tre er 11/36. Så den betingede sannsynligheten i dette tilfellet er (4/36) / (11/36) = 4/11.