Øyeblikk i matematisk statistikk innebærer en grunnleggende beregning. Disse beregningene kan brukes til å finne en sannsynlighetsfordelings middel, varians og skeivhet.
Anta at vi har et sett med data på totalt ndiskrete punkter. En viktig beregning, som faktisk er flere tall, kalles søyeblikket. De sdet øyeblikk av datasettet med verdier x1, x2, x3,..., xn er gitt av formelen:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Bruk av denne formelen krever at vi er forsiktige med ordren vår. Vi må gjøre eksponentene først, legge til, og deretter dele denne summen med n det totale antall dataverdier.
En merknad om begrepet 'Moment'
Begrepet øyeblikk er hentet fra fysikk. I fysikk blir øyeblikket til et system med poengmasser beregnet med en formel som er identisk med den ovenfor, og denne formelen brukes til å finne massesenteret til poengene. I statistikk er ikke verdiene masse lenger, men som vi vil se, måler øyeblikk i statistikk fortsatt noe i forhold til sentrum av verdiene.
Første øyeblikk
For det første øyeblikket setter vi s = 1. Formelen for det første øyeblikket er således:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Dette er identisk med formelen for prøven mener.
Det første øyeblikket av verdiene 1, 3, 6, 10 er (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Andre øyeblikk
For det andre øyeblikket vi satt s = 2. Formelen for det andre øyeblikket er:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
Det andre øyeblikket av verdiene 1, 3, 6, 10 er (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Tredje øyeblikk
For tredje øyeblikk vi satt s = 3. Formelen for tredje øyeblikk er:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
Det tredje øyeblikket av verdiene 1, 3, 6, 10 er (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Høyere momenter kan beregnes på lignende måte. Bare bytt ut s i formelen over med tallet som angir ønsket øyeblikk.
Moments About the Mean
En beslektet ide er den av søyeblikket om middelverdien. I denne beregningen utfører vi følgende trinn:
- Beregn først gjennomsnittet av verdiene.
- Deretter trekker du dette gjennomsnittet fra hver verdi.
- Hev deretter hver av disse forskjellene til sth makt.
- Legg nå tallene fra trinn 3 sammen.
- Til slutt, del denne summen med antall verdier vi startet med.
Formelen for søyeblikket om middelverdien m av verdiene verdier x1, x2, x3,..., xn er gitt av:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Første øyeblikk om gjennomsnittet
Det første øyeblikket om middelverdien er alltid lik null, uansett hva datasettet er at vi jobber med. Dette kan sees på følgende:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Second Moment About the Mean
Det andre øyeblikket om middelverdien oppnås fra formelen ovenfor ved innstillings = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Denne formelen tilsvarer den for prøvevariansen.
Tenk for eksempel settet 1, 3, 6, 10. Vi har allerede beregnet gjennomsnittet av dette settet til å være 5. Trekk dette fra hver av dataverdiene for å oppnå forskjeller i:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Vi kvadratiserer hver av disse verdiene og legger dem sammen: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Del dette tallet til slutt med antall datapunkter: 46/4 = 11.5
Applikasjoner av øyeblikk
Som nevnt over, er det første øyeblikket gjennomsnittet, og det andre øyeblikket om middelverdien er prøven forskjell. Karl Pearson introduserte bruken av det tredje øyeblikket om middelverdien i beregningen skjevhet og det fjerde øyeblikket om gjennomsnittet i beregningen av kurtose.