Forventet verdi av en binomial distribusjon

Binomiale fordelinger er en viktig klasse av diskrete sannsynlighetsfordelinger. Disse typer distribusjoner er en serie med n uavhengige Bernoulli-forsøk, som hver har en konstant sannsynlighet p av suksess. Som med all sannsynlighetsfordeling vil vi gjerne vite hva dets middel eller senter er. For dette spør vi virkelig: “Hva er det? forventet verdi av binomialfordelingen? ”

Hvis vi nøye tenker på a binomial fordeling, er det ikke vanskelig å fastslå at det forventede verdien av denne typen sannsynlighetsfordeling er np. For noen få raske eksempler på dette, vurder følgende:

• Hvis vi kaster 100 mynter, og X er antall hoder, den forventede verdien av X er 50 = (1/2) 100.
• Hvis vi tar en flervalgs-test med 20 spørsmål, og hvert spørsmål har fire valg (bare ett av som er riktig), og å gjette tilfeldig ville bety at vi bare ville forvente å få (1/4) 20 = 5 spørsmål riktig.

I begge disse eksemplene ser vi det E [X] = n p. To saker er neppe nok til å komme til en konklusjon. Selv om intuisjon er et godt verktøy for å veilede oss, er det ikke nok å danne et matematisk argument og for å bevise at noe er sant. Hvordan kan vi bevise at den forventede verdien av denne distribusjonen faktisk er?

Fra definisjonen av forventet verdi og sannsynlighetsmassefunksjonen for binomial fordeling av n studier med sannsynlighet for suksess p, kan vi demonstrere at intuisjonen vår stemmer med fruktene av matematisk strenghet. Vi må være litt forsiktige i arbeidet vårt og kvikke i våre manipulasjoner av den binomiale koeffisienten som er gitt av formelen for kombinasjoner.

Vi begynner med å bruke formelen:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) s^x(1-p)^{n - x}.

Siden hvert termin i summeringen multipliseres med x, verdien av uttrykket som tilsvarer x = 0 vil være 0, og så kan vi faktisk skrive:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) s ^x (1 - p) ^{n - x} .

Ved å manipulere fabrikkstedene som er involvert i uttrykket for C (n, x) vi kan skrive om

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Dette er sant fordi:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / ((( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Det følger at:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) s ^x (1 - p) ^{n - x} .

Vi faktorerer ut n og en p fra uttrykket ovenfor:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) s ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

En endring av variabler r = x - 1 gir oss:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) s ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Ved den binomiale formelen, (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} summeringen over kan skrives om:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

Ovennevnte argument har tatt oss langt. Fra begynnelsen bare med definisjonen av forventet verdi og sannsynlighetsmassefunksjon for en binomial fordeling, har vi bevist at det intuisjonen vår fortalte oss. Den forventede verdien av binomial fordelingB (n, p) er n p.