Det er viktig å vite hvordan man beregner sannsynligheten for en hendelse. Visse typer hendelser med sannsynlighet kalles uavhengige. Når vi har et par uavhengige hendelser, kan vi noen ganger spørre: "Hva er sannsynligheten for at begge disse hendelsene oppstår?" I denne situasjonen kan vi ganske enkelt multiplisere våre to sannsynligheter sammen.
Vi vil se hvordan du kan bruke multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser. Etter at vi har gått gjennom det grunnleggende, vil vi se detaljene i et par beregninger.
Vi begynner med en definisjon av uavhengige hendelser. I sannsynlighet, to hendelser er uavhengige hvis utfallet av den ene hendelsen ikke påvirker resultatet av den andre hendelsen.
Et godt eksempel på et par uavhengige hendelser er når vi ruller en dyse og deretter vipper en mynt. Antallet som vises på matrisen har ingen innvirkning på mynten som ble kastet. Derfor er disse to hendelsene uavhengige.
Et eksempel på et par hendelser som ikke er uavhengige, ville være kjønn på hver baby i et sett med tvillinger. Hvis tvillingene er identiske, vil begge være mannlige, eller begge vil være kvinnelige.
Multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser knytter sannsynlighetene for to hendelser til sannsynligheten for at de begge oppstår. For å bruke regelen, må vi ha sannsynlighetene for hver av de uavhengige hendelsene. Gitt disse hendelsene, angir multiplikasjonsregelen sannsynligheten for at begge hendelser oppstår blir funnet ved å multiplisere sannsynlighetene for hver hendelse.
Betegn hendelser EN og B og sannsynlighetene for hver av P (A) og P (B). Hvis EN og B er uavhengige hendelser, da:
Noen versjoner av denne formelen bruker enda flere symboler. I stedet for ordet "og" kan vi i stedet bruke skjæringssymbolet: ∩. Noen ganger brukes denne formelen som definisjon av uavhengige hendelser. Hendelser er uavhengige hvis og bare hvis P (A og B) = P (A) x P (B).
Vi vil se hvordan du bruker multiplikasjonsregelen ved å se på noen få eksempler. Anta først at vi ruller en sekssidet die og deretter vipper en mynt. Disse to hendelsene er uavhengige. Sannsynligheten for å rulle en 1 er 1/6. Sannsynligheten for et hode er 1/2. Sannsynligheten for å rulle en 1 og å få et hode er 1/6 x 1/2 = 1/12.
Hvis vi var tilbøyelige til å være skeptiske til dette resultatet, er dette eksemplet lite nok til at alle resultatene kunne være oppført: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Vi ser at det er tolv utfall, som alle er like sannsynlige å oppstå. Derfor er sannsynligheten for 1 og et hode 1/12. Multiplikasjonsregelen var mye mer effektiv fordi den ikke krevde at vi skulle liste opp hele prøveområdet.
For det andre eksemplet, antar at vi tegner et kort fra a standard dekk, bytt ut dette kortet, bland stokken og tegne deretter igjen. Vi spør da om det er sannsynligheten for at begge kortene er konger. Siden vi har tegnet med erstatning, disse hendelsene er uavhengige og multiplikasjonsregelen gjelder.
Sannsynligheten for å trekke en konge for det første kortet er 1/13. Sannsynligheten for å trekke en konge på den andre trekningen er 1/13. Årsaken til dette er at vi erstatter kongen som vi tegnet fra første gang. Siden disse hendelsene er uavhengige, bruker vi multiplikasjonsregelen for å se at sannsynligheten for å trekke to konger er gitt av følgende produkt 1/13 x 1/13 = 1/169.
Hvis vi ikke erstattet kongen, ville vi ha en annen situasjon der hendelsene ikke ville være uavhengige. Sannsynligheten for å trekke en konge på det andre kortet vil bli påvirket av resultatet av det første kortet.