Definisjon og bruk av union i matematikk

En operasjon som ofte brukes til å danne nye sett fra gamle kalles unionen. I vanlig bruk betyr ordet fagforening en sammenføring, for eksempel fagforeninger i organisert arbeidskraft eller Nasjonens tilstand adresse som USA President lager før en felles sesjon av kongressen. I matematisk forstand beholder foreningen av to sett denne ideen om å bringe sammen. Mer presist, foreningen av to sett EN og B er settet med alle elementer x slik at x er et element i settet EN eller x er et element i settet B. Ordet som betyr at vi bruker en fagforening, er ordet "eller".

Når vi bruker ordet "eller" i daglige samtaler, skjønner vi kanskje ikke at dette ordet brukes på to forskjellige måter. Veien blir vanligvis utledet fra samtalen. Hvis du ble spurt: "Vil du ha kyllingen eller biffen?" den vanlige implikasjonen er at du kan ha det ene eller det andre, men ikke begge deler. Kontrast dette med spørsmålet, "Vil du ha smør eller rømme på den bakte poteten din?" Her "eller" er brukt i inkluderende forstand på den måten at du bare kunne velge smør, bare rømme, eller både smør og surt krem.

I matematikk brukes ordet "eller" i inkluderende forstand. Så uttalelsen, "x er et element av EN eller et element av B"betyr at en av de tre er mulig:

• x er et element av rettferdig EN og ikke et element av B
• x er et element av rettferdig B og ikke et element av EN.
• x er et element av begge deler EN og B. (Vi kan også si det x er et element i skjæringspunktet mellom EN og B

For et eksempel på hvordan forening av to sett danner et nytt sett, la oss vurdere settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For å finne foreningen mellom disse to settene, lister vi bare hvert element vi ser, og er nøye med å duplisere noen elementer. Tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 er i det ene settet eller det andre, derfor er foreningen til EN og B er {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

I tillegg til å forstå begrepene angående setteoridrift, er det viktig å kunne lese symboler som brukes til å betegne disse operasjonene. Symbolet som ble brukt for forening av de to settene EN og B er gitt av EN ∪ B. En måte å huske symbolet ∪ refererer til union på er å legge merke til dets likhet med en hovedstad U, som er forkortelse for ordet "fagforening." Vær forsiktig, fordi symbolet for forening er veldig likt symbolet for kryss. Den ene oppnås fra den andre ved hjelp av en vertikal vipp.

For å se denne notasjonen i handling, se tilbake eksemplet ovenfor. Her hadde vi settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Så vi ville skrevet den faste ligningen EN ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

En grunnleggende identitet som involverer forbundet viser oss hva som skjer når vi tar foreningen til ethvert sett med det tomme settet, betegnet med # 8709. Det tomme settet er settet uten elementer. Så å bli med på dette til noe annet sett vil ikke ha noen effekt. Med andre ord, forening av ethvert sett med det tomme settet vil gi oss det opprinnelige settet tilbake

Denne identiteten blir enda mer kompakt når vi bruker notasjonen vår. Vi har identiteten: EN ∪ ∅ = EN.

For det andre ytterligere, hva skjer når vi undersøker forening av et sett med det universelle settet? Siden det universelle settet inneholder hvert element, kan vi ikke legge noe annet til dette. Så foreningen eller ethvert sett med det universelle settet er det universelle settet.

Igjen hjelper notasjonen vår å uttrykke denne identiteten i et mer kompakt format. For ethvert sett EN og det universelle settet U, EN ∪ U = U.

Det er mange flere faste identiteter som involverer bruken av fagforeningsoperasjonen. Selvfølgelig er det alltid godt å øve på bruker språket i settteorien. Noen av de mer viktige er oppgitt nedenfor. For alle sett EN, og B og D vi har:

• Refleksiv eiendom: EN ∪ EN =EN
• Kommutativ eiendom: EN ∪ B = B ∪ EN
• Assosiativ eiendom: (EN ∪ B) ∪ D =EN ∪ (B ∪ D)
• DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)^C = EN^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)^C = EN^C ∩ B^C