Sett teori og hvordan den brukes

Settteori er et grunnleggende konsept i hele matematikken. Denne grenen av matematikk danner et grunnlag for andre emner.

Intuitivt er et sett en samling av objekter, som kalles elementer. Selv om dette virker som en enkel idé, har det noen vidtrekkende konsekvenser.

Elementene i et sett kan virkelig være hva som helst - tall, stater, biler, personer eller til og med andre sett er alle muligheter for elementer. Omtrent alt som kan samles sammen kan brukes til å danne et sett, selv om det er noen ting vi må være forsiktige med.

Elementer i et sett er enten i et sett eller ikke i et sett. Vi kan beskrive et sett av en definerende egenskap, eller vi kan liste elementene i settet. Rekkefølgen på at de er oppført er ikke viktig. Så settene {1, 2, 3} og {1, 3, 2} er like sett, fordi de begge inneholder de samme elementene.

To sett fortjener spesiell omtale. Den første er det universelle settet, typisk betegnet U. Dette settet er alle elementene vi kan velge mellom. Dette settet kan være forskjellig fra den ene innstillingen til den neste. Et universalsett kan for eksempel være settet med

Det andre settet som krever litt oppmerksomhet kalles tomt sett. Det tomme settet er det unike settet er settet uten elementer. Vi kan skrive dette som {} og betegne dette settet med symbolet ∅.

En samling av noen av elementene i et sett EN kalles a undergruppe av EN. Det sier vi EN er en undergruppe av B hvis og bare hvis hvert element av EN er også et element av B. Hvis det er et begrenset antall n av elementer i et sett, så er det totalt 2ⁿ undergrupper av EN. Denne samlingen av alle undergruppene til EN er et sett som kalles kraftsett av EN.

Akkurat som vi kan utføre operasjoner som tillegg - på to tall for å få et nytt tall, brukes setteorioperasjoner for å danne et sett fra to andre sett. Det er en rekke operasjoner, men nesten alle er sammensatt av følgende tre operasjoner:

• Union - En fagforening betyr en sammenkomst. Forening av settene EN og B består av elementene som er i enten EN eller B.
• Kryss - Et veikryss er der to ting møtes. Skjæringspunktet mellom settene EN og B består av elementene som i begge deler EN og B.
• Kompletter - Komplementet til settet EN består av alle elementene i det universelle settet som ikke er elementer av EN.

Et verktøy som er nyttig for å skildre forholdet mellom forskjellige sett, kalles et Venn-diagram. Et rektangel representerer det universelle settet for problemet vårt. Hvert sett er representert med en sirkel. Hvis sirklene overlapper hverandre, illustrerer dette skjæringspunktet mellom våre to sett.

Settteori brukes i hele matematikken. Det brukes som et fundament for mange underfelt i matematikk. På områdene knyttet til statistikk brukes den spesielt i sannsynlighet. Mye av begrepene i sannsynlighet er avledet fra konsekvensene av setteori. En måte å oppgi aksiomer av sannsynlighet innebærer settteori.