Sannsynligheter og løgner terninger

Mange sjansespill kan analyseres ved hjelp av sannsynlighetens matematikk. I denne artikkelen skal vi undersøke forskjellige aspekter av spillet kalt Liar's Dice. Etter å ha beskrevet dette spillet, vil vi beregne sannsynligheter relatert til det.

Spillet av Liar's Dice er faktisk en familie med spill som involverer bløffing og bedrag. Det er en rekke varianter av dette spillet, og det går under flere forskjellige navn som Pirate's Dice, Deception og Dudo. En versjon av dette spillet ble omtalt i filmen Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

I versjonen av spillet som vi skal undersøke, har hver spiller en kopp og et sett med samme antall terninger. Terningene er standard, seks-sidige terninger som er nummerert fra en til seks. Alle ruller terningene sine og holder dem dekket av koppen. Til riktig tid ser en spiller på settet med terninger, og holder dem skjult for alle andre. Spillet er designet slik at hver spiller har perfekt kunnskap om sitt eget terningsett, men ikke har noen kunnskap om de andre terningene som er blitt rullet.

Etter at alle har hatt en mulighet til å se på terningene deres som ble rullet, begynner budgivningen. På hver sving har en spiller to valg: gi et høyere bud eller ring det forrige budet løgn. Bud kan gjøres høyere ved å by en høyere terningverdi fra en til seks, eller ved å by et større antall av samme terningverdi.

For eksempel kan et bud på “Tre toer” økes ved å angi “Fire toer.” Det kan også økes ved å si "Tre trekanter." Generelt kan verken antall terninger eller verdiene av terningen synke.

Siden de fleste av terningene er skjult for synet, er det viktig å vite hvordan man beregner noen sannsynligheter. Ved å vite dette er det lettere å se hvilke bud som sannsynligvis vil være sanne, og hva som sannsynligvis vil være løgner.

Den første vurderingen er å spørre: "Hvor mange terninger av samme type kan vi forvente?" Hvis vi for eksempel ruller fem terninger, hvor mange av disse ville vi forvente å være en to? Svaret på dette spørsmålet bruker ideen om forventet verdi.

Den forventede verdien av en tilfeldig variabel er sannsynligheten for en bestemt verdi multiplisert med denne verdien.

Sannsynligheten for at den første dør er en to er 1/6. Siden terningene er uavhengige av hverandre, er sannsynligheten for at noen av dem er et to 1/6. Dette betyr at det forventede antall tvillede rullet er 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Selvfølgelig er det ikke noe spesielt med resultatet av to. Det er heller ikke noe spesielt med antall terninger som vi vurderte. Hvis vi rullet n terningkast, så er det forventede antallet av et av de seks mulige utfallene n/6. Dette tallet er godt å vite fordi det gir oss en grunnleggende bruk når vi setter spørsmålstegn ved bud fra andre.

For eksempel, hvis vi spiller løgner terninger med seks terninger, er den forventede verdien av en av verdiene 1 til 6 6/6 = 1. Dette betyr at vi skal være skeptiske hvis noen byr på mer enn en av noen verdi. På lang sikt vil vi gjennomsnitt en av hver av de mulige verdiene.

Anta at vi triller fem terninger og vi vil finne sannsynligheten for å rulle to trær. Sannsynligheten for at en die er en tre er 1/6. Sannsynligheten for at et dø ikke er tre er 5/6. Ruller av disse terningene er uavhengige hendelser, og derfor multipliserer vi sannsynlighetene sammen ved å bruke multiplikasjonsregel.

Sannsynligheten for at de to første terningene er treere og de andre terningene ikke er treere er gitt av følgende produkt:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

De to første terningene som er treere er bare en mulighet. Terningene som er tre kan være en hvilken som helst av de fem terningene vi ruller. Vi betegner en die som ikke er en tre av a *. Følgende er mulige måter å ha to trekanter av fem ruller på:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vi ser at det er ti måter å rulle nøyaktig to treer av fem terninger.

Vi multipliserer nå sannsynligheten vår ovenfor med de 10 måtene vi kan ha denne konfigurasjonen av terninger. Resultatet er 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Dette er omtrent 16%.

Vi generaliserer nå eksemplet ovenfor. Vi vurderer sannsynligheten for å rulle n terninger og få nøyaktig k som har en viss verdi.

Akkurat som før er sannsynligheten for å rulle antallet vi ønsker 1/6. Sannsynligheten for ikke å rulle dette tallet er gitt av komplementregel som 5/6. Vi vil k av terningene våre for å være det valgte nummeret. Dette betyr at n - k er et annet nummer enn det vi ønsker. Sannsynligheten for den første k terninger som er et visst antall med de andre terningene, ikke dette tallet er:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Det ville være kjedelig, for ikke å nevne tidkrevende, å liste opp alle mulige måter å rulle en bestemt terningkonfigurasjon på. Derfor er det bedre å bruke telleprinsippene våre. Gjennom disse strategiene ser vi at vi teller kombinasjoner.

Det er C (n, k) måter å rulle på k av en viss type terninger ut av n terning. Dette tallet er gitt med formelen n!/(k!(n - k)!)

Å sette sammen alt, ser vi det når vi triller n terninger, sannsynligheten for at akkurat k av dem er et bestemt tall gitt med formelen:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Det er en annen måte å vurdere denne typen problemer. Dette innebærer binomial fordeling med sannsynlighet for suksess gitt av p = 1/6. Formelen for nøyaktig k hvorav disse terningene er et visst antall er kjent som sannsynlighetsmassefunksjonen for binomialen fordeling.

En annen situasjon som vi bør vurdere er sannsynligheten for å rulle minst et visst antall av en bestemt verdi. Når vi for eksempel ruller fem terninger, hva er sannsynligheten for å rulle minst tre? Vi kunne rulle tre, fire eller fem. For å bestemme sannsynligheten vi vil finne, legger vi sammen tre sannsynligheter.

Nedenfor har vi en tabell over sannsynligheter for å oppnå nøyaktig k av en viss verdi når vi triller fem terninger.

Deretter vurderer vi følgende tabell. Det gir sannsynligheten for å rulle minst et visst antall verdier når vi ruller totalt fem terninger. Vi ser at selv om det er veldig sannsynlig å rulle minst en 2, er det ikke like sannsynlig å rulle minst fire 2-er.