De prøve standardavvik er en beskrivende statistikk som måler spredningen av et kvantitativt datasett. Dette tallet kan være et hvilket som helst ikke-negativt reelt tall. Siden null er et ikke-negativt ekte nummer, det virker verdt å spørre: "Når vil standardavviket til prøven være lik null?" Dette skjer i det helt spesielle og svært uvanlige tilfellet når alle dataverdiene våre er nøyaktig de samme. Vi vil utforske årsakene til det.
Beskrivelse av standardavviket
To viktige spørsmål som vi vanligvis ønsker å svare på om et datasett inkluderer:
- Hva er sentrum av datasettet?
- Hvor spredt er datasettet?
Det er forskjellige målinger, kalt beskrivende statistikk som svarer på disse spørsmålene. For eksempel sentrum av dataene, også kjent som gjennomsnitt, kan beskrives i form av middelverdi, median eller modus. Andre statistikker, som er mindre kjent, kan brukes, for eksempel midhinge eller trimean.
For spredning av dataene våre, kan vi bruke området, interkvartil rekkevidde eller standardavviket. Standardavviket er sammenkoblet med middelet for å tallfeste spredningen av dataene våre. Vi kan deretter bruke dette tallet til å sammenligne flere datasett. Jo større standardavviket vårt er, desto større er spredningen.
Intuisjon
La oss vurdere fra denne beskrivelsen hva det vil bety å ha et standardavvik på null. Dette vil indikere at det ikke er noen spredning i datasettet vårt. Alle de individuelle dataverdiene ville bli samlet sammen til en enkelt verdi. Siden det bare vil være en verdi som våre data kan ha, vil denne verdien utgjøre gjennomsnittet av utvalget vårt.
I denne situasjonen, når alle dataverdiene våre er de samme, ville det ikke være noen variasjon overhodet. Intuitivt er det fornuftig at standardavviket til et slikt datasett ville være null.
Matematisk bevis
Eksempelets standardavvik er definert av en formel. Så enhver uttalelse som den ovenfor skal bevises ved å bruke denne formelen. Vi begynner med et datasett som passer til beskrivelsen over: alle verdier er identiske, og det er det n verdier lik x.
Vi beregner gjennomsnittet av dette datasettet og ser at det er det
x = (x + x +... + x)/n = nx/n = x.
Når vi nå beregner de individuelle avvikene fra gjennomsnittet, ser vi at alle disse avvikene er null. Følgelig er variansen og også standardavviket lik null også.
Nødvendig og tilstrekkelig
Vi ser at hvis datasettet ikke viser noen variasjon, så er standardavviket null. Vi kan spørre om converse av denne uttalelsen er også sant. For å se om det er det, vil vi bruke formelen for standardavvik igjen. Denne gangen vil vi imidlertid sette standardavviket lik null. Vi vil ikke gjøre noen forutsetninger om datasettet vårt, men vil se hvilken innstilling s = 0 antyder
Anta at standardavviket til et datasett er lik null. Dette vil innebære at prøven varians s2 er også lik null. Resultatet er ligningen:
0 = (1/(n - 1)) ∑ (xJeg - x )2
Vi multipliserer begge sider av ligningen med n - 1 og se at summen av de kvadratiske avvikene er lik null. Siden vi jobber med reelle tall, er den eneste måten for dette å skje på at hvert av de kvadratiske avvikene er lik null. Dette betyr at for alle Jeg, uttrykket (xJeg - x )2 = 0.
Vi tar nå kvadratroten av likningen ovenfor og ser at hvert avvik fra gjennomsnittet må være lik null. Siden for alle Jeg,
xJeg - x = 0
Dette betyr at hver dataverdi er lik gjennomsnittet. Dette resultatet sammen med det ovenfor gir oss mulighet til å si at standardavviket til et datasett er null hvis og bare hvis alle verdiene er identiske.