En populær måte å studere sannsynlighet på er å rulle terninger. En standard matrise har seks sider trykt med små prikker som nummererer 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvis dø er rettferdig (og det vil vi anta at alle er), så er hvert av disse resultatene like sannsynlig. Siden det er seks mulige utfall, er sannsynligheten for å oppnå noen side av matrisen 1/6. Sannsynligheten for å rulle en 1 er 1/6, sannsynligheten for å rulle en 2 er 1/6, og så videre. Men hva skjer hvis vi legger til et nytt dø? Hva er sannsynligheten for å rulle to terninger?
Terningkast sannsynlighet
For å bestemme sannsynligheten for en terningkast, må vi vite to ting:
- Størrelsen på prøveplass eller settet med totale mulige utfall
- Hvor ofte en hendelse oppstår
I sannsynlighet, er en hendelse en viss undergruppe av prøven. For eksempel, når bare en dyse rulles, som i eksemplet ovenfor, er prøveområdet lik alle verdiene på matrisen, eller settet (1, 2, 3, 4, 5, 6). Siden matrisen er rettferdig, oppstår hvert tall i settet bare en gang. Med andre ord, frekvensen til hvert nummer er 1. For å bestemme sannsynligheten for å rulle et av tallene på matrisen, deler vi hendelsesfrekvensen (1) med størrelsen på prøveområdet (6), noe som resulterer i en sannsynlighet på 1/6.
Å rulle to rettferdige terninger mer enn dobler vanskeligheten med å beregne sannsynligheter. Dette er fordi å rulle en matrice er uavhengig av å rulle en andre. Den ene rullen har ingen effekt på den andre. Når vi arbeider med uavhengige hendelser bruker vi multiplikasjonsregel. Bruken av et treskjema viser at det er 6 x 6 = 36 mulige utfall fra å rulle to terninger.
Anta at den første døren vi ruller kommer opp som en. Den andre matrullen kan være en 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Anta at den første døren er en 2. Den andre matrullen igjen kan være en 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi har allerede funnet 12 potensielle utfall, og har ennå ikke brukt alle mulighetene til den første dø.
Sannsynlighetstabell for å rulle to terninger
De mulige resultatene av å rulle to terninger er representert i tabellen nedenfor. Legg merke til at antall totale mulige utfall er lik prøveområdet til den første matrisen (6) multiplisert ved prøveområdet til den andre matrisen (6), som er 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tre eller flere terninger
Det samme prinsippet gjelder hvis vi jobber med problemer som involverer tre terninger. Vi multipliserer og ser at det er 6 x 6 x 6 = 216 mulige utfall. Ettersom det blir tungvint å skrive den gjentatte multiplikasjonen, kan vi bruke eksponenter for å forenkle arbeidet. For to terninger er det 62 mulige utfall. For tre terninger er det 63 mulige utfall. Generelt, hvis vi ruller n terninger, så er det totalt 6n mulige utfall.
Eksempel på problemer
Med denne kunnskapen kan vi løse alle slags sannsynlighetsproblemer:
1. To seks-sidige terninger rulles. Hva er sannsynligheten for at summen av de to terningene er syv?
Den enkleste måten å løse dette problemet er å se i tabellen ovenfor. Du vil merke at i hver rad er det en terningkast der summen av de to terningene er lik syv. Siden det er seks rader, er det seks mulige utfall der summen av de to terningene er lik syv. Antall totale mulige utfall er fortsatt 36. Igjen finner vi sannsynligheten ved å dele hendelsesfrekvensen (6) med størrelsen på prøveområdet (36), noe som resulterer i en sannsynlighet på 1/6.
2. To seks-sidige terninger rulles. Hva er sannsynligheten for at summen av de to terningene er tre?
I det forrige problemet har du kanskje lagt merke til at cellene der summen av de to terningene er lik syv danner en diagonal. Det samme er tilfelle her, bortsett fra i dette tilfellet er det bare to celler der summen av terningen er tre. Det er fordi det bare er to måter å få dette resultatet på. Du må rulle en 1 og en 2, eller du må rulle en 2 og en 1. Kombinasjonene for å rulle en sum av syv er mye større (1 og 6, 2 og 5, 3 og 4, og så videre). For å finne sannsynligheten for at summen av de to terningene er tre, kan vi dele hendelsesfrekvensen (2) med størrelsen på prøveområdet (36), noe som resulterer i en sannsynlighet på 1/18.
3. To seks-sidige terninger rulles. Hva er sannsynligheten for at tall på terningene er forskjellige?
Igjen kan vi enkelt løse dette problemet ved å konsultere tabellen ovenfor. Du vil merke at cellene der tallene på terningene er de samme danner en diagonal. Det er bare seks av dem, og når vi først har krysset dem ut, har vi de gjenværende cellene der tallene på terningen er forskjellige. Vi kan ta antall kombinasjoner (30) og dele det med størrelsen på prøveområdet (36), noe som resulterer i en sannsynlighet på 5/6.