Beregninger med gamma-funksjonen

De gammafunksjon er definert av følgende kompliserte utseende formel:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Et spørsmål som folk har når de møter denne forvirrende ligningen for første gang, er: "Hvordan bruker du denne formelen for å beregne verdier av gammafunksjon? ” Dette er et viktig spørsmål da det er vanskelig å vite hva denne funksjonen til og med betyr og hva alle symbolene står for til.

En måte å svare på dette spørsmålet er ved å se på flere eksemplerberegninger med gammafunksjonen. Før vi gjør dette, er det noen få ting fra kalkulatur som vi må vite, for eksempel hvordan vi integrerer en type I som feil integral, og at e er en matematisk konstant.

Før vi gjør noen beregninger, undersøker vi motivasjonen bak disse beregningene. Mange ganger vises gammafunksjonene bak kulissene. Flere sannsynlighetstetthetsfunksjoner er angitt med tanke på gammafunksjonen. Eksempler på disse inkluderer gammadistribusjon og studenters t-distribusjon. Viktigheten av gammafunksjonen kan ikke overdrives.

Det første eksempelberegningen som vi skal studere er å finne verdien av gammafunksjonen for Γ (1). Dette blir funnet ved innstilling z = 1 i formelen ovenfor:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Vi beregner integrasjonen ovenfor i to trinn:

• Den ubestemte integralen ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Dette er en feil integral, så vi har ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Det neste eksempelberegningen som vi vil vurdere, ligner på det siste eksemplet, men vi øker verdien av z med 1. Vi beregner nå verdien av gammafunksjonen for Γ (2) ved å stille inn z = 2 i formelen ovenfor. Trinnene er de samme som ovenfor:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Den ubestemte integralen ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Selv om vi bare har økt verdien av z med 1, tar det mer arbeid å beregne dette integralet. For å finne dette integralet, må vi bruke en teknikk fra kalkulus kjent som integrering av deler. Vi bruker nå integreringsgrensene akkurat som ovenfor og trenger å beregne:

lim_{b → ∞}- være ^{- b} -e ^{- b} -0E ⁰ + e ⁰.

Et resultat fra kalkulus kjent som L’Hospitals regel gjør det mulig for oss å beregne grense-grensen_{b → ∞}- være ^{- b} = 0. Dette betyr at verdien av integralen ovenfor er 1.

En annen funksjon i gamma-funksjonen og en som kobler den til fakultet er formelen Γ (z +1 ) =zΓ (z ) for z et hvilket som helst komplekst tall med et positivt ekte del. Årsaken til at dette stemmer, er et direkte resultat av formelen for gammafunksjonen. Ved å bruke integrasjon av deler kan vi etablere denne egenskapen til gammafunksjonen.