Et naturlig spørsmål å stille om en sannsynlighetsfordeling er: "Hva er dens sentrum?" Den forventede verdien er en slik måling av sentrum for en sannsynlighetsfordeling. Siden den måler middelverdien, bør det ikke komme som noen overraskelse at denne formelen er avledet fra middelverdien.
For å etablere et utgangspunkt må vi svare på spørsmålet "Hva er den forventede verdien?" Anta at vi har en tilfeldig variabel tilknyttet et sannsynlighetseksperiment. La oss si at vi gjentar dette eksperimentet om og om igjen. I det lange løp av flere repetisjoner av det samme sannsynlighetseksperimentet, hvis vi i gjennomsnitt utgjorde alle våre verdier av tilfeldig variabel, ville vi oppnådd den forventede verdien.
I det følgende vil vi se hvordan du bruker formelen for forventet verdi. Vi vil se på både de diskrete og kontinuerlige innstillingene og se likhetene og forskjellene i formlene.
Formelen for en diskret tilfeldig variabel
Vi starter med å analysere den diskrete saken. Gitt en diskret tilfeldig variabel
X, antar at den har verdier x1, x2, x3,... xn, og respektive sannsynligheter for p1, p2, p3,... pn. Dette sier at sannsynlighetsmassefunksjonen for denne tilfeldige variabelen gir f(xJeg) = pJeg.Den forventede verdien av X er gitt av formelen:
E (X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 +... + xnpn.
Ved å bruke sannsynlighetsmassefunksjonen og summasjonsnotasjonen gjør det mulig for oss å skrive denne formelen mer kompakt som følger, der summeringen blir overtatt indeksen Jeg:
E (X) = Σ xJegf(xJeg).
Denne versjonen av formelen er nyttig å se fordi den også fungerer når vi har en uendelig prøveplass. Denne formelen kan også enkelt justeres for den kontinuerlige saken.
Et eksempel
Vend en mynt tre ganger og la X være antall hoder. Den tilfeldige variabelen X er diskret og begrenset. De eneste mulige verdiene vi kan ha er 0, 1, 2 og 3. Dette har en sannsynlighetsfordeling på 1/8 for X = 0, 3/8 for X = 1, 3/8 for X = 2, 1/8 for X = 3. Bruk den forventede verdiformelen for å oppnå:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
I dette eksemplet ser vi at vi på lang sikt vil gjennomsnittlig ha 1,5 hoder fra dette eksperimentet. Dette er fornuftig med intuisjonen vår da halvparten av 3 er 1,5.
Formelen for en kontinuerlig tilfeldig variabel
Vi henvender oss nå til en kontinuerlig tilfeldig variabel, som vi vil betegne med X. Vi vil la sannsynlighetstetthetsfunksjonen til X gis av funksjonen f(x).
Den forventede verdien av X er gitt av formelen:
E (X) = ∫ x f(x) dx.
Her ser vi at den forventede verdien av vår tilfeldige variabel uttrykkes som en integral.
Bruksområder med forventet verdi
Det er mange applikasjoner for forventet verdi av en tilfeldig variabel. Denne formelen gir et interessant utseende i St. Petersburg-paradokset.