Betydningen av gjensidig eksklusiv i statistikk

I sannsynlighet to arrangementer sies å være gjensidig utelukkende hvis og bare hvis hendelsene har ingen delte resultater. Hvis vi betrakter hendelsene som sett, vil vi si at to hendelser er gjensidig utelukkende når krysset er tomt sett. Vi kan betegne de hendelsene EN og B er gjensidig utelukkende av formelen EN ∩ B = Ø. Som med mange begreper fra sannsynlighet, vil noen eksempler bidra til å gi mening om denne definisjonen.

Anta at vi rull to seks-sidige terninger og legg til antall prikker som vises på toppen av terningen. Hendelsen som består av "summen er jevn" er gjensidig utelukkende fra hendelsen "summen er merkelig." Årsaken til dette er fordi det ikke er mulig for et tall å være jevne og rare.

Nå skal vi utføre det samme sannsynlighetseksperimentet med å rulle to terninger og legge til tallene som vises sammen. Denne gangen vil vi vurdere hendelsen som består av å ha en odd sum og hendelsen som består av å ha en sum større enn ni. Disse to hendelsene er ikke gjensidig utelukkende.

Årsaken til dette er tydelig når vi undersøker resultatene av hendelsene. Den første hendelsen har resultater på 3, 5, 7, 9 og 11. Den andre hendelsen har resultater på 10, 11 og 12. Siden 11 er i begge disse, er hendelsene ikke gjensidig utelukkende.

Vi illustrerer videre med et annet eksempel. Anta at vi tegner et kort fra et standard kortstokk på 52 kort. Å tegne et hjerte er ikke gjensidig utelukkende for å trekke en konge. Dette er fordi det er et kort (kongen av hjerter) som dukker opp i begge disse hendelsene.

Det er tider hvor det er veldig viktig å avgjøre om to hendelser er gjensidig utelukkende eller ikke. Å vite om to hendelser er gjensidig utelukkende påvirker beregningen av sannsynligheten for at den ene eller den andre oppstår.

Gå tilbake til korteksempelet. Hvis vi trekker ett kort fra en standard kortstokk på 52 kort, hva er sannsynligheten for at vi har trukket et hjerte eller en konge?

Først, del dette i individuelle hendelser. For å finne sannsynligheten for at vi har trukket et hjerte, teller vi først antall hjerter i kortstokken som 13 og deler deretter med det totale antall kort. Dette betyr at sannsynligheten for et hjerte er 13/52.

For å finne sannsynligheten for at vi har trukket en konge begynner vi med å telle det totale antallet konger, noe som resulterer i fire, og deretter deler vi med det totale antall kort, som er 52. Sannsynligheten for at vi har trukket en konge er 4/52.

Problemet er nå å finne sannsynligheten for å tegne enten en konge eller et hjerte. Her må vi være forsiktige. Det er veldig fristende å bare legge sannsynlighetene 13/52 og 4/52 sammen. Dette ville ikke være riktig fordi de to hendelsene ikke er utelukkende. Kongen av hjerter er blitt talt to ganger på disse sannsynlighetene. For å motvirke dobbelttellingen, må vi trekke sannsynligheten for å tegne en konge og et hjerte, som er 1/52. Derfor er sannsynligheten for at vi har trukket enten en konge eller et hjerte 16/52.

En formel kjent som tilleggsregel gir en alternativ måte å løse et problem som det ovenfor. Tilleggsregelen refererer faktisk til et par formler som er nært knyttet til hverandre. Vi må vite om hendelsene våre er gjensidig utelukkende for å vite hvilken tilleggsformel som er passende å bruke.