Hva er forskjellen på to sett i settteorien?

Forskjellen på to sett, skrevet EN - B er settet med alle elementer i EN som ikke er elementer i B. Forskjellen operasjonen, sammen med fagforening og kryss, er en viktig og grunnleggende settteoridrift.

Trekk fra ett tall fra et annet kan tenkes på mange forskjellige måter. En modell for å hjelpe deg med å forstå dette konseptet kalles takeaway-modellen av subtraksjon. I dette ville problemet 5 - 2 = 3 bli demonstrert ved å starte med fem objekter, fjerne to av dem og telle at det var tre som gjensto. På en lignende måte som vi finner forskjellen mellom to tall, kan vi finne forskjellen på to sett.

Vi vil se på et eksempel på den innstilte forskjellen. For å se hvordan forskjellen på to settene danner et nytt sett, la oss vurdere settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For å finne forskjellen EN - B av disse to settene, begynner vi med å skrive alle elementene i EN, og fjern deretter hvert element av EN det er også et element av B. Siden EN deler elementene 3, 4 og 5 med B, dette gir oss den faste forskjellen EN - B = {1, 2}.

Akkurat som forskjellene 4 - 7 og 7 - 4 gir oss forskjellige svar, må vi være forsiktige med rekkefølgen vi beregner den angitte forskjellen. For å bruke et teknisk begrep fra matematikk, vil vi si at den angitte driften av forskjellen ikke er kommutativ. Hva dette betyr er at vi generelt ikke kan endre rekkefølgen på forskjellen på to sett og forvente samme resultat. Vi kan presist oppgi det for alle sett EN og B, EN - B er ikke lik B - EN.

For å se dette, se tilbake til eksemplet over. Vi beregnet det for settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, forskjellen EN - B = {1, 2 }. For å sammenligne dette med B - EN, vi begynner med elementene i B, som er 3, 4, 5, 6, 7, 8, og fjern deretter 3, 4 og 5 fordi disse er til felles med EN. Resultatet er B - EN = {6, 7, 8 }. Dette eksemplet viser oss tydelig A - B er ikke lik B - A.

En slags forskjell er viktig nok til å garantere sitt eget spesielle navn og symbol. Dette kalles komplementet, og det brukes til den innstilte forskjellen når første sett er det universelle settet. Komplementet av EN er gitt av uttrykket U - EN. Dette refererer til settet med alle elementer i det universelle settet som ikke er elementer av EN. Siden det er forstått at sett med elementer at vi kan velge mellom er hentet fra det universelle settet, kan vi ganske enkelt si at komplementet til EN er settet som består av elementer som ikke er elementer av EN.

Komplementet til et sett er i forhold til det universelle settet som vi jobber med. Med EN = {1, 2, 3} og U = {1, 2, 3, 4, 5}, komplementet til EN er {4, 5}. Hvis vårt universelle sett er forskjellig, si U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, deretter komplementet til EN {-3, -2, -1, 0}. Sørg alltid for å være oppmerksom på det universelle settet som brukes.

Ordet "komplement" starter med bokstaven C, og derfor brukes dette i notasjonen. Komplementet til settet EN er skrevet som EN^C. Så vi kan uttrykke definisjonen av komplementet i symboler som: EN^C = U - EN.

En annen måte som ofte brukes til å betegne komplementet til et sett, involverer en apostrof, og er skrevet som EN'.

Det er mange angitte identiteter som involverer bruk av forskjellen og kompletterer operasjoner. Noen identiteter kombinerer andre settoperasjoner som kryss og union. Noen av de mer viktige er oppgitt nedenfor. For alle sett EN, og B og D vi har:

• EN - EN =∅
• EN - ∅ = EN
• ∅ - EN = ∅
• EN - U = ∅
• (EN^C)^C = EN
• DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)^C = EN^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)^C = EN^C ∩ B^C