Hva er den negative binomiale fordelingen?

Den negative binomiale fordelingen er a sannsynlighetsfordeling som brukes med diskrete tilfeldige variabler. Denne typen distribusjon gjelder antall forsøk som må skje for å ha et forhåndsbestemt antall suksesser. Som vi vil se, er den negative binomiale fordelingen relatert til binomial fordeling. I tillegg generaliserer denne fordelingen den geometriske fordelingen.

Vi vil starte med å se på både innstillingen og forholdene som gir opphav til en negativ binomial fordeling. Mange av disse forholdene ligner veldig på en binomial setting.

1. Vi har et Bernoulli-eksperiment. Dette betyr at hver prøve vi utfører har en veldefinert suksess og fiasko, og at dette er de eneste resultatene.
2. Sannsynligheten for suksess er konstant uansett hvor mange ganger vi utfører eksperimentet. Vi betegner denne konstante sannsynligheten med a s.
3. Eksperimentet gjentas for X uavhengige studier, noe som betyr at resultatet av en prøve ikke har noen innvirkning på resultatet av en etterfølgende prøve.

Disse tre forholdene er identiske med de i en binomial fordeling. Forskjellen er at en binomial tilfeldig variabel har et fast antall studier n. De eneste verdiene av X er 0, 1, 2,..., n, så dette er en begrenset distribusjon.

En negativ binomial fordeling er opptatt av antall studier X som må skje til vi har det r suksesser. Antallet r er et helt tall som vi velger før vi begynner å utføre forsøkene våre. Den tilfeldige variabelen X er fremdeles diskret. Nå kan imidlertid den tilfeldige variabelen ta på seg verdier av X = r, r + 1, r + 2,... Denne tilfeldige variabelen er antagelig uendelig, da det kan ta vilkårlig lang tid før vi får tak r suksesser.

For å være klar over en negativ binomial fordeling er det verdt å ta et eksempel. Anta at vi vipper en rettferdig mynt og vi stiller spørsmålet, "Hva er sannsynligheten for at vi får tre hoder i det første X mynt flips? "Dette er en situasjon som krever en negativ binomial fordeling.

Myntsvingene har to mulige utfall, sannsynligheten for suksess er en konstant 1/2, og forsøkene de er uavhengige av hverandre. Vi ber om sannsynligheten for å få de tre første hodene etter X mynt flips. Dermed må vi snu mynten minst tre ganger. Vi fortsetter deretter å bla til det tredje hodet vises.

For å beregne sannsynligheter relatert til en negativ binomial fordeling, trenger vi litt mer informasjon. Vi må kjenne til sannsynlighetsmassefunksjonen.

Sannsynlighetsmassefunksjonen for en negativ binomialfordeling kan utvikles med litt tanke. Hver prøve har en sannsynlighet for suksess gitt av s. Siden det bare er to mulige utfall, betyr dette at sannsynligheten for svikt er konstant (1 - p ).

De rsuksessen må skje for xth og siste rettssak. Den forrige x - 1 forsøk må inneholde nøyaktig r - 1 suksesser. Antall måter dette kan skje angis av antall kombinasjoner:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

I tillegg til dette har vi uavhengige hendelser, og slik at vi kan multiplisere sannsynlighetene våre sammen. Ved å sette sammen alt dette får vi sannsynlighetsmassefunksjonen

f(x) = C (x - 1, r -1) p^r(1 - p)^{x - r}.

Vi er nå i stand til å forstå hvorfor denne tilfeldige variabelen har en negativ binomial fordeling. Antall kombinasjoner vi møtte ovenfor kan skrives annerledes ved å stille inn x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Her ser vi utseendet til en negativ binomialkoeffisient, som brukes når vi hever et binomialt uttrykk (a + b) til en negativ kraft.

Gjennomsnittet av en distribusjon er viktig å vite fordi det er en måte å betegne sentrum for distribusjonen. Gjennomsnittet av denne typen tilfeldige variabler er gitt av den forventede verdien og er lik r / p. Vi kan bevise dette nøye ved å bruke øyeblikk genererende funksjon for denne distribusjonen.

Intuisjon guider oss også til dette uttrykket. Anta at vi utfører en serie forsøk n₁ til vi skaffer oss r suksesser. Og så gjør vi dette igjen, bare denne gangen det tar n₂ studier. Vi fortsetter dette om og om igjen, til vi har et stort antall grupper med forsøk N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Hver av disse k forsøk inneholder r suksesser, og derfor har vi totalt kr suksesser. Hvis N er stor, så forventer vi å se om np suksesser. Dermed sidestiller vi disse sammen og har kr = Np.

Vi gjør litt algebra og finner det N / k = r / p. Fraksjonen på venstre side av denne ligningen er gjennomsnittlig antall forsøk som kreves for hver av våre k grupper av forsøk. Med andre ord, dette er det forventede antall ganger å utføre eksperimentet slik at vi har totalt r suksesser. Dette er nøyaktig forventningen som vi ønsker å finne. Vi ser at dette er lik formelen r / p.

Variansen til den negative binomiale fordelingen kan også beregnes ved å bruke momentgenereringsfunksjonen. Når vi gjør dette ser vi variansen til denne distribusjonen er gitt med følgende formel:

r (1 - p)/p²

Det øyeblikk som genererer funksjonen for denne typen tilfeldige variabler er ganske komplisert. Husk at momentgenereringsfunksjonen er definert til å være den forventede verdien E [e^tX]. Ved å bruke denne definisjonen med vår sannsynlighetsmassefunksjon, har vi:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] E^tXp^r(1 - p)^{x - r}

Etter litt algebra blir dette M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Vi har sett over hvordan den negative binomialfordelingen på mange måter ligner den binomiale fordelingen. I tillegg til denne forbindelsen er den negative binomiale fordelingen en mer generell versjon av en geometrisk fordeling.

En geometrisk tilfeldig variabel X teller antall nødvendige prøver før den første suksessen inntreffer. Det er lett å se at dette er nøyaktig den negative binomiale fordelingen, men med r lik en.

Andre formuleringer av negativ binomialfordeling eksisterer. Noen lærebøker definerer X å være antall forsøk frem til r feil oppstår.

Vi vil se på et eksempelproblem for å se hvordan man jobber med negativ binomialfordeling. Anta at en basketballspiller er en 80% frikastskytter. Anta videre at det å gjøre et frikast er uavhengig av å gjøre det neste. Hva er sannsynligheten for at den åttende kurven er laget for det tiende frikastet for denne spilleren?

Vi ser at vi har en innstilling for en negativ binomial fordeling. Den konstante sannsynligheten for suksess er 0,8, og derfor er sannsynligheten for svikt 0,2. Vi ønsker å bestemme sannsynligheten for X = 10 når r = 8.

Vi kobler disse verdiene til vår sannsynlighetsmassefunksjon:

f (10) = C (10-1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², som er omtrent 24%.

Vi kan da spørre hva som er gjennomsnittlig antall frispark før denne spilleren lager åtte av dem. Siden forventet verdi er 8 / 0,8 = 10, er dette antall skudd.