Hvis du ba noen om å navngi hans eller hennes favoritt matematiske konstant, vil du sannsynligvis få noen quizzical utseende. Etter en stund kan det hende at noen melder seg frivillig til at best konstant er pi. Men dette er ikke den eneste viktige matematiske konstanten. Et nært sekund, hvis ikke utfordrer for kronen til den mest allestedsnærværende konstanten er e. Dette tallet vises i beregning, tallteori, sannsynlighet og statistikk. Vi vil undersøke noen av funksjonene i dette bemerkelsesverdige tallet, og se hvilke sammenhenger det har med statistikk og sannsynlighet.
Verdien av e
Som pi, e er et irrasjonelt ekte nummer. Dette betyr at det ikke kan skrives som en brøk, og at desimalutvidelsen fortsetter for alltid uten repeterende blokkering av tall som kontinuerlig gjentas. Antallet e er også transcendental, noe som betyr at det ikke er roten til et ikke-sterkt polynom med rasjonelle koeffisienter. De første femti desimalene av er gitt av e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definisjon av e
Antallet e ble oppdaget av folk som var nysgjerrige på sammensatt interesse. I denne formen for interesse tjener rektor renter og deretter tjener den genererte renter renter på seg selv. Det ble observert at jo større frekvensen av sammensatte perioder per år er, desto høyere er mengden av interesse generert. For eksempel kan vi se på at rentene blir sammensatt:
- Årlig, eller en gang i året
- Halvårlig, eller to ganger i året
- Månedlig, eller 12 ganger i året
- Daglig, eller 365 ganger i året
Det totale rentebeløpet øker for hvert av disse tilfellene.
Et spørsmål oppstod om hvor mye penger som muligens kunne tjent i renter. For å forsøke å tjene enda mer penger kunne vi i teorien øke antall sammensatte perioder til så høyt antall som vi ønsket. Sluttresultatet av denne økningen er at vi vil vurdere renten som blir sammensatt kontinuerlig.
Mens interessen som genereres øker, gjør den det veldig sakte. Det totale beløpet på kontoen stabiliseres faktisk, og verdien som dette stabiliserer seg til er e. For å uttrykke dette ved hjelp av en matematisk formel sier vi at grensen som n økning på (1 + 1 /n)n = e.
Bruk av e
Antallet e dukker opp gjennom matematikk. Her er noen av stedene der det ser ut:
- Det er basen til den naturlige logaritmen. Siden Napier oppfant logaritmer, e kalles noen ganger Napiers konstante.
- I kalkulus, eksponentiell funksjon ex har den unike egenskapen å være sitt eget derivat.
- Uttrykk som involverer ex og e-x kombineres for å danne hyperbolsk sinus og hyperbolsk kosinusfunksjon.
- Takket være arbeidet med Euler vet vi at de grunnleggende konstantene i matematikken henger sammen med formelen eMultiplikasjon + 1 = 0, hvor Jeg er det imaginære tallet som er kvadratroten til det negative.
- Antallet e dukker opp i forskjellige formler gjennom matematikk, spesielt området for teori.
Verdien e i statistikk
Antallets betydning e er ikke begrenset til bare noen få områder i matematikk. Det er også flere bruksområder av tallet e i statistikk og sannsynlighet. Noen få av disse er som følger:
- Antallet e gjør opptreden i formel for gammafunksjonen.
- Formlene for standard normalfordeling involverer e til en negativ kraft. Denne formelen inkluderer også pi.
- Mange andre distribusjoner innebærer bruk av nummeret e. For eksempel inneholder formlene for t-distribusjon, gammadistribusjon og chi-square distribusjon alle tallet e.