Eksponentielt forfall: Definisjon og funksjon

I matematikk, eksponentielt forfall beskriver prosessen med å redusere et beløp med en jevn prosentsats over en periode. Det kan uttrykkes ved formelen y = a (1-b)^x hvori y er det endelige beløpet, en er det opprinnelige beløpet, b er forfallsfaktoren, og x er tiden som har gått.

Eksponentiell forfallsformel er nyttig i en rekke applikasjoner i den virkelige verden, spesielt for sporing av inventar som brukes regelmessig i det samme mengde (som mat til skolekafeteria), og det er spesielt nyttig i sin evne til raskt å vurdere de langsiktige kostnadene ved bruk av et produkt over tid.

Eksponentielt forfall er forskjellig fra lineært forfall ved at forfallsfaktoren er avhengig av en prosentandel av det opprinnelige beløpet, som betyr det faktiske tallet det opprinnelige beløpet kan reduseres med vil endre seg over tid, mens en lineær funksjon reduserer det opprinnelige tallet med samme beløp hver tid.

Det er også motsatt av eksponensiell vekst, som vanligvis forekommer i aksjemarkedene der et selskaps verdi vil vokse eksponentielt over tid før de når et platå. Du kan sammenligne og kontrastere forskjellene mellom eksponentiell vekst og forfall, men det er ganske greit: den ene øker den opprinnelige mengden og den andre reduserer den.

For å starte er det viktig å gjenkjenne den eksponentielle forfallsformelen og kunne identifisere hvert av elementene:

y = a (1-b)^x

For å forstå nytten av forfallsformelen, er det viktig å forstå hvordan hver av faktorene er definert, og begynner med uttrykket "forfallsfaktor" - presentert av bokstaven b i den eksponentielle forfallsformelen — som er en prosentandel som det opprinnelige beløpet vil avta hver gang.

Det opprinnelige beløpet her - representert med brevet en i formelen - er mengden før forfallet oppstår, så hvis du tenker på dette i praktisk forstand, er det opprinnelige beløpet ville være mengden epler et bakeri kjøper, og den eksponentielle faktoren ville være prosentandelen epler som brukes hver time til å lage paier.

Eksponenten, som i tilfelle av eksponentielt forfall er alltid tid og uttrykkes med bokstaven x, representerer hvor ofte forfallet oppstår og vanligvis uttrykkes i sekunder, minutter, timer, dager eller år.

Bruk følgende eksempel for å forstå begrepet eksponentielt forfall i et virkelighetsscenario:

Mandag betjener Ledwith's Cafeteria 5 000 kunder, men tirsdag morgen melder de lokale nyhetene at restauranten mislykkes ved helseinspeksjon og har - yikes! —Volasjoner relatert til skadedyrbekjempelse. Tirsdag betjener kantina 2.500 kunder. Onsdag betjener kafeteriaen bare 1 250 kunder. Torsdag betjener kafeteriaen et snaut 625 kunder.

Som du ser, falt antall kunder med 50 prosent hver dag. Denne typen tilbakegang skiller seg fra en lineær funksjon. I en lineær funksjon, ville antall kunder synke med det samme beløpet hver dag. Det opprinnelige beløpet (en) ville være 5000, forfallsfaktoren (b ) ville derfor være 0,5 (50 prosent skrevet som desimal), og verdien av tiden (x) vil bli bestemt av hvor mange dager Ledwith ønsker å forutsi resultatene for.

Hvis Ledwith skulle spørre om hvor mange kunder han ville tape på fem dager hvis trenden fortsatte, sier regnskapsføreren kunne finne løsningen ved å koble alle de ovennevnte tallene til den eksponentielle forfallsformelen for å få følgende:

y = 5000 (1-5)⁵

Løsningen kommer på 312 og en halv, men siden du ikke kan ha en halv kunde, ville regnskapsfører runde tallet opp til 313 og kunne si at Ledwith om fem dager kan forvente å tape ytterligere 313 kunder!