Hvordan bruke 'Hvis og bare hvis' i matematikk

Når du leser om statistikk og matematikk, er en setning som jevnlig dukker opp "hvis og bare hvis." Denne frasen vises spesielt i utsagn om matematiske teoremer eller bevis. Men hva betyr nettopp denne uttalelsen?

For å forstå "hvis og bare hvis", må vi først vite hva som menes med en betinget uttalelse. En betinget uttalelse er en som er dannet av to andre utsagn, som vi vil betegne med P og Q. For å danne en betinget uttalelse, kan vi si "hvis P da Q."

Følgende er eksempler på denne typen uttalelser:

• Hvis det regner ute, tar jeg med meg paraplyen min på tur.
• Hvis du studerer hardt, vil du tjene et A.
• Hvis n kan deles med 4, da n kan deles med 2.

Tre andre uttalelser er relatert til enhver betinget uttalelse. Disse kalles samtale, invers og den kontrapositive. Vi danner disse utsagnene ved å endre rekkefølgen på P og Q fra den opprinnelige betingede og sette inn ordet “ikke” for det inverse og kontrapositive.

Vi trenger bare å vurdere samtalen her. Denne uttalelsen er hentet fra originalen ved å si "hvis Q så er P." Anta at vi begynner med den betingede ”hvis det regner ute, så vil jeg ta paraplyen min med meg på tur. ” Samtalen til denne uttalelsen er “hvis jeg tar paraplyen min med meg på tur, regner det utenfor."

Vi trenger bare å vurdere dette eksemplet for å innse at den opprinnelige betingelsen ikke logisk er den samme som dens samtale. Forvirringen mellom disse to uttalelsesformene er kjent som en konversasjonsfeil. Man kan ta en paraply på tur, selv om det kanskje ikke regner ute.

For et annet eksempel vurderer vi betingelsen "Hvis et tall er delbart med 4, er det delbart med 2." Dette utsagnet er helt klart sant. Imidlertid er denne uttalelsens samtale “Hvis et tall er delbart med 2, er det delbart med 4” er usant. Vi trenger bare å se på et nummer som 6. Selv om 2 deler dette tallet, gjør ikke 4 det. Mens den opprinnelige uttalelsen er sann, er det ikke samtalen.

Dette bringer oss til en bikondisjonell uttalelse, som også er kjent som en "hvis og bare hvis" -uttalelse. Visse betingede utsagn har også samtaler som er sanne. I dette tilfellet kan det hende at vi danner det som kalles en to-betingelseserklæring. En to-betingelseserklæring har skjemaet:

”Hvis P så Q, og hvis Q så P.”

Siden dette konstruksjon er noe vanskelig, spesielt når P og Q er deres egne logiske utsagn, forenkler vi utsagnet om en tobetingelse ved å bruke uttrykket "hvis og bare hvis." I stedet for å si "hvis P da Q, og hvis Q så P", sier vi i stedet "P hvis og bare hvis Q." Denne konstruksjonen eliminerer noen overflødighet.

For et eksempel på uttrykket “hvis og bare hvis” som involverer statistikk, må du ikke se lenger enn et faktum om standardavviket. Eksempelstandardavviket til et datasett er lik null hvis og bare hvis alle dataverdiene er identiske.

Vi bryter denne bikondisjonelle uttalelsen til en betingelse og dens samtale. Så ser vi at denne uttalelsen betyr begge følgende:

• Hvis standardavviket er null, er alle dataverdiene identiske.
• Hvis alle dataverdiene er identiske, er standardavviket lik null.

Hvis vi prøver å bevise en tobetingelse, ender vi oftest med å dele den opp. Dette gjør at beviset vårt har to deler. En del vi beviser er “hvis P så er Q.” Den andre delen av beviset vi trenger er “hvis Q så er P.”

Biconditional statement er relatert til forhold som er både nødvendige og tilstrekkelige. Tenk på utsagnet “hvis i dag er det påske, så i morgen er det mandag. ” Det å være påske i dag er tilstrekkelig til at morgendagen er mandag, men det er ikke nødvendig. I dag kan være hvilken som helst søndag enn påske, og i morgen vil det fortsatt være mandag.

Uttrykket “hvis og bare hvis” brukes ofte nok i matematisk skriving til at det har sin egen forkortelse. Noen ganger forkortes det tobetingede i uttalelsen av uttrykket "hvis og bare hvis" til "iff." Så uttalelsen "P hvis og bare hvis Q" blir "P iff Q."