Hvordan beregne backgammon-sannsynligheter

Backgammon er et spill som bruker to standard terninger. Terningene som brukes i dette spillet er seks-sidige terninger, og ansiktene til en terning har en, to, tre, fire, fem eller seks pips. Under en backgammon-turnering kan en spiller flytte sine sjekker eller utkast i henhold til tallene som er vist på terningen. Tallene som er rullet kan deles mellom to brikker, eller de kan summeres og brukes til en enkelt kontrollør. For eksempel, når en 4 og en 5 rulles, har en spiller to alternativer: Han kan flytte en kontrollør fire mellomrom og en annen en fem mellomrom, eller en kontrollør kan flyttes totalt ni mellomrom.

For å formulere strategier i backgammon er det nyttig å vite noen grunnleggende sannsynligheter. Siden en spiller kan bruke en eller to terninger for å flytte en bestemt kontrollør, vil enhver beregning av sannsynligheter huske dette. For backgammon-sannsynlighetene våre, vil vi svare på spørsmålet, "Når vi ruller to terninger, hva er sannsynligheten for å rulle tallet n som enten en sum av to terninger, eller på minst en av de to terningene? ”

For en enkelt dyse som ikke er lastet, er det like sannsynlig at hver side vil vende opp. En enkelt form danner en uniformprøveplass. Det er totalt seks utfall, som tilsvarer hvert av heltalene fra 1 til 6. Dermed har hvert tall en sannsynlighet for at 1/6 oppstår.

Når vi triller to terninger, er hver terning uavhengig av den andre. Hvis vi holder rede på rekkefølgen på hvilket antall som oppstår på hver av terningene, er det totalt 6 x 6 = 36 like sannsynlige utfall. Dermed er 36 nevneren for alle sannsynlighetene våre, og ethvert spesielt resultat av to terninger har en sannsynlighet på 1/36.

Sannsynligheten for å rulle to terninger og få minst ett av et tall fra 1 til 6 er enkel å beregne. Hvis vi ønsker å bestemme sannsynligheten for å rulle minst en 2 med to terninger, må vi vite hvor mange av de 36 mulige utfallene som inkluderer minst en 2. Måtene å gjøre dette på er:

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Det er således 11 måter å rulle minst en 2 med to terninger, og sannsynligheten for å rulle minst en 2 med to terninger er 11/36.

Det er ikke noe spesielt med 2 i forrige diskusjon. For et gitt nummer n fra 1 til 6:

• Det er fem måter å rulle nøyaktig ett av det tallet på den første matrisen.
• Det er fem måter å rulle nøyaktig ett av det tallet på den andre matrisen.
• Det er en måte å rulle det tallet på begge terningene.

Derfor er det 11 måter å rulle minst en n fra 1 til 6 ved å bruke to terninger. Sannsynligheten for at dette skal skje er 11/36.

Ethvert nummer fra to til 12 kan fås som summen av to terninger. De sannsynligheter for to terninger er litt vanskeligere å beregne. Siden det er forskjellige måter å nå disse summene på, danner de ikke et ensartet prøveområde. For eksempel er det tre måter å rulle en sum på fire: (1, 3), (2, 2), (3, 1), men bare to måter å rulle en sum på 11: (5, 6), ( 6, 5).

Sannsynligheten for å rulle en sum av et bestemt tall er som følger:

• Sannsynligheten for å rulle en sum av to er 1/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum av tre er 2/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på fire er 3/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på fem er 4/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på seks er 5/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum av syv er 6/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på åtte er 5/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på ni er 4/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på ti er 3/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på elleve er 2/36.
• Sannsynligheten for å rulle en sum på tolv er 1/36.

Til slutt har vi alt vi trenger for å beregne sannsynligheter for backgammon. Å rulle minst ett av tallene er gjensidig utelukkende fra å rulle dette tallet som en sum av to terninger. Dermed kan vi bruke tilleggsregel å legge sannsynlighetene sammen for å få et hvilket som helst nummer fra 2 til 6.

For eksempel er sannsynligheten for å rulle minst en 6 av to terninger 11/36. Å rulle en 6 som en sum av to terninger er 5/36. Sannsynligheten for å rulle minst en 6 eller rulle en seks som en sum av to terninger er 11/36 + 5/36 = 16/36. Andre sannsynligheter kan beregnes på lignende måte.