Sannsynligheten for Union av 3 eller flere sett

Når to arrangementer er gjensidig utelukkende, sannsynligheten for deres union kan beregnes med tilleggsregel. Vi vet at rullering av et tall som er større enn fire eller et antall mindre enn tre, er gjensidig eksklusive hendelser, uten noe felles. Så for å finne sannsynligheten for denne hendelsen, legger vi ganske enkelt sannsynligheten for at vi ruller et tall større enn fire til sannsynligheten for at vi ruller et tall som er mindre enn tre. I symboler har vi følgende, hvor hovedstaden P betegner "sannsynlighet for":

P(større enn fire eller mindre enn tre) = P(større enn fire) + P(mindre enn tre) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Hvis hendelsene er ikke gjensidig utelukkende, så legger vi ikke bare sannsynlighetene for hendelsene sammen, men vi trenger å trekke fra sannsynligheten for kryss av hendelsene. Gitt hendelsene EN og B:

P(EN U B) = P(EN) + P(B) - P(EN ∩ B).

Her redegjør vi for muligheten for å dobbeltregne de elementene som er i begge deler EN og B, og det er grunnen til at vi trekker sannsynligheten for krysset.

Spørsmålet som oppstår fra dette er: “Hvorfor slutte med to sett? Hva er sannsynligheten for forening av mer enn to sett? ”

Vi vil utvide ideene ovenfor til å omfatte situasjonen der vi har tre sett, som vi vil betegne EN, B, og C. Vi vil ikke anta noe mer enn dette, så det er muligheten for at settene har et ikke-tomt kryss. Målet vil være å beregne sannsynlighet av foreningen av disse tre settene, eller P (EN U B U C).

Ovennevnte diskusjon for to sett holder fortsatt. Vi kan legge sammen sannsynlighetene til de enkelte settene EN, B, og C, men ved å gjøre dette har vi dobbelttelt noen elementer.

Elementene i skjæringspunktet mellom EN og B har blitt dobbelttelt som før, men nå er det andre elementer som potensielt har blitt talt to ganger. Elementene i skjæringspunktet mellom EN og C og i skjæringspunktet mellom B og C har nå også blitt talt to ganger. Så sannsynligheter av disse kryssene må også trekkes fra.

Men har vi trukket for mye? Det er noe nytt å vurdere som vi ikke måtte være opptatt av når det bare var to sett. Akkurat som alle to sett kan ha et kryss, kan alle tre settene også ha et kryss. I forsøket på å sikre at vi ikke teller noe, har vi ikke talt på alle elementene som dukker opp i alle tre settene. Så sannsynligheten for krysset mellom alle tre settene må legges inn igjen.

Her er formelen som er avledet fra diskusjonen ovenfor:

P (EN U B U C) = P(EN) + P(B) + P(C) - P(EN ∩ B) - P(EN ∩ C) - P(B ∩ C) + P(EN ∩ B ∩ C)

For å se formelen for sannsynligheten for forening av tre sett, antar vi at vi spiller et brettspill som innebærer å rulle to terninger. På grunn av spillereglene må vi få minst en av døden til å være en to, tre eller fire for å vinne. Hva er sannsynligheten for dette? Vi gjør oppmerksom på at vi prøver å beregne sannsynligheten for forening av tre hendelser: å rulle minst en to, rulle minst en tre, rulle minst en fire. Så vi kan bruke formelen ovenfor med følgende sannsynligheter:

• Sannsynligheten for å rulle en to er 11/36. Telleren her kommer fra det faktum at det er seks utfall der den første terningen er en to, seks der den andre er en to, og ett utfall der begge terningene er to. Dette gir oss 6 + 6 - 1 = 11.
• Sannsynligheten for å rulle en tre er 11/36, av samme grunn som ovenfor.
• Sannsynligheten for å rulle en firer er 11/36, av samme grunn som ovenfor.
• Sannsynligheten for å rulle en to og en tre er 2/36. Her kan vi ganske enkelt liste opp mulighetene, de to kan komme først eller det kan komme på andreplass.
• Sannsynligheten for å rulle en to og en fire er 2/36, av samme grunn som sannsynligheten for en to og en tre er 2/36.
• Sannsynligheten for å rulle en to, tre og en fire er 0 fordi vi bare ruller to terninger og det er ingen måte å få tre tall med to terninger.

Vi bruker nå formelen og ser at sannsynligheten for å få minst en to, en tre eller en fire er

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Årsaken til at formelen for sannsynligheten for sammenslåing av fire sett har sin form, er lik begrunnelsen for formelen for tre sett. Når antall sett øker, øker også antall par, tredobbel og så videre. Med fire sett er det seks parvise kryss som må trekkes fra, fire trippelkryss for å legge tilbake i, og nå et firedoblet kryss som må trekkes fra. Gitt fire sett EN, B, C og D, formelen for forening av disse settene er som følger:

P (EN U B U C U D) = P(EN) + P(B) + P(C) +P(D) - P(EN ∩ B) - P(EN ∩ C) - P(EN ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(EN ∩ B ∩ C) + P(EN ∩ B ∩ D) + P(EN ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(EN ∩ B ∩ C ∩ D).

Vi kunne skrive formler (som vil se enda skumlere ut enn den ovenfor) for sannsynligheten for sammenslåing av mer enn fire sett, men fra å studere formlene ovenfor bør vi legge merke til noen mønstre. Disse mønstrene holder for å beregne fagforeninger på mer enn fire sett. Sannsynligheten for forening av et hvilket som helst antall sett kan bli funnet som følger:

1. Legg til sannsynlighetene for de enkelte hendelsene.
2. Trekk fra sannsynlighet for kryssene av hvert par hendelser.
3. Legg til sannsynlighetene for krysset mellom hvert sett med tre hendelser.
4. Trekk sannsynlighetene for krysset mellom hvert sett av fire hendelser.
5. Fortsett denne prosessen til den siste sannsynligheten er sannsynligheten for skjæringspunktet mellom det totale antall sett som vi startet med.