Forstå ekvivalente ligninger i algebra

Ekvivalente ligninger er systemer for ligninger som har de samme løsningene. Å identifisere og løse likeverdige ligninger er en verdifull ferdighet, ikke bare i algebra klasse men også i hverdagen. Ta en titt på eksempler på likeverdige ligninger, hvordan du løser dem for en eller flere variabler, og hvordan du kan bruke denne ferdigheten utenfor et klasserom.

Viktige takeaways

De enkleste eksemplene på ekvivalente ligninger har ingen variabler. For eksempel er disse tre likningene ekvivalent med hverandre:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Det er flott å anerkjenne disse likningene, men ikke spesielt nyttig. Vanligvis ber et ekvivalent likningsproblem deg om å løse for en variabel for å se om det er det samme (det samme

For eksempel er følgende ligninger ekvivalente:

• x = 5
• -2x = -10

I begge tilfeller er x = 5. Hvordan vet vi dette? Hvordan løser du dette for "-2x = -10" ligningen? Det første trinnet er å kjenne til reglene for likeverdige ligninger:

• legge eller trekke fra det samme tallet eller uttrykket til begge sider av en ligning gir en ekvivalent ligning.
• Å multiplisere eller dele begge sider av en ligning med det samme tallet som ikke er null, gir en ekvivalent likning.
• Å heve begge sider av ligningen til samme rare kraften eller å ta den samme rare roten vil gi en ekvivalent likning.
• Hvis begge sider av en ligning er ikke-negativ, vil heve begge sider av en ligning til den samme jevn kraft eller ta den samme jevn rot vil gi en ekvivalent ligning.

Gjennomføre disse reglene i praksis, bestemme om disse to likningene er likeverdige:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

For å løse dette må du finne "x" for hver ligningen. Hvis "x" er det samme for begge ligninger, er de ekvivalente. Hvis "x" er forskjellig (dvs. ligningene har forskjellige røtter), er likningene ikke ekvivalente. For den første ligningen:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (trekke begge sider av samme nummer)
• x = 5

For den andre ligningen:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (trekke begge sider av samme antall)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dele begge sider av ligningen med samme antall)
• x = 5

Så, ja, de to likningene er likeverdige fordi x = 5 i hvert tilfelle.

Du kan bruke likeverdige ligninger i dagliglivet. Det er spesielt nyttig når du handler. For eksempel liker du en bestemt skjorte. Et selskap tilbyr skjorta for $ 6 og har $ 12 frakt, mens et annet selskap tilbyr skjorten for $ 7,50 og har $ 9 frakt. Hvilken skjorte har best pris? Hvor mange skjorter (kanskje du ønsker å få dem til venner) vil du måtte kjøpe for at prisen skal være den samme for begge selskaper?

For å løse dette problemet, la "x" være antall skjorter. Til å begynne med, sett x = 1 for kjøp av en skjorte. For firma nr. 1:

• Pris = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

For firma nr. 2:

• Pris = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = $ 16,50

Så hvis du kjøper en skjorte, tilbyr det andre selskapet en bedre avtale.

For å finne det punktet hvor prisene er like, la "x" forbli antall skjorter, men angi de to ligningene lik hverandre. Løs for "x" for å finne hvor mange skjorter du trenger å kjøpe:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (subtrahere samme tall eller uttrykk fra hver side)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dele begge sider med samme antall, -1)
• x = 3 / 1,5 (dele begge sider med 1,5)
• x = 2

Hvis du kjøper to skjorter, er prisen den samme, uansett hvor du får tak i den. Du kan bruke samme matematikk for å bestemme hvilket selskap som gir deg en bedre avtale med større ordrer, og også for å beregne hvor mye du vil spare ved å bruke det ene selskapet fremfor det andre. Algebra er nyttig!

Hvis du har to ligninger og to ukjente (x og y), kan du bestemme om to sett med lineære ligninger er ekvivalente.

Hvis du for eksempel får likningene:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Du kan bestemme om følgende system er ekvivalent:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Til løs dette problemet, finn "x" og "y" for hvert ligningssystem. Hvis verdiene er de samme, er ligningssystemene ekvivalente.

Start med det første settet. For å løse to ligninger med to variabler, isoler en variabel og koble løsningen til den andre ligningen. Slik isolerer du varianten "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (plugg inn for "x" i den andre ligningen)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18 år = 33
• y = 33/18 = 11/6

Nå kobler du "y" tilbake til begge ligningene for å løse for "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Arbeider du gjennom dette, vil du til slutt få x = 7/3.

For å svare på spørsmålet, du kunne bruke de samme prinsippene på det andre settet med ligninger for å løse for "x" og "y" for å finne ut at ja, de er faktisk likeverdige. Det er lett å bli fast i algebraen, så det er lurt å sjekke arbeidet ditt ved å bruke en online ligning løsning.

Den flinke studenten vil imidlertid legge merke til at de to setningene med likninger er likeverdige uten å gjøre noen vanskelige beregninger i det hele tatt. Den eneste forskjellen mellom den første ligningen i hvert sett er at den første er tre ganger den andre (ekvivalent). Den andre ligningen er nøyaktig den samme.