Eksponentielle funksjoner forteller historiene om eksplosiv forandring. De to typene eksponentielle funksjoner er eksponensiell vekst og eksponentielt forfall. Fire variabler - prosent endring, tid, beløpet i begynnelsen av tidsperioden og beløpet på slutten av tidsperioden - spiller roller i eksponentielle funksjoner. Denne artikkelen fokuserer på hvordan du finner beløpet i begynnelsen av tidsperioden, en.
Eksponensiell vekst
Eksponentiell vekst: endringen som skjer når en opprinnelig mengde økes med en jevn hastighet over en periode
Eksponentiell vekst i det virkelige liv:
- Verdiene av boligprisene
- Verdier av investeringer
- Økt medlemskap på et populært nettsted for sosiale nettverk
Her er en eksponentiell vekstfunksjon:
y = en(1 + b)x
- y: Endelig beløp som gjenstår over en periode
- en: Det opprinnelige beløpet
- x: Tid
- De vekstfaktor er (1 + b).
- Variabelen, b, er prosentvis endring i desimalform.
Eksponentielt forfall
Eksponentielt forfall: endringen som skjer når et opprinnelig beløp reduseres med en jevn hastighet over en periode
Eksponentielt forfall i det virkelige liv:
- Avvisning av aviskleserskap
- Nedgang i slag i USA
- Antall mennesker som er igjen i en by med en orkan
Her er en eksponentiell forfallsfunksjon:
y = en(1b)x
- y: Endelig beløp som gjenstår etter forfallet over en periode
- en: Det opprinnelige beløpet
- x: Tid
- De forfallsfaktor er (1-b).
- Variabelen, b, er prosent reduksjon i desimalform.
Formålet med å finne det opprinnelige beløpet
Seks år fra nå, kanskje du ønsker å studere en lavere grad ved Dream University. Med en prislapp på 120 000 dollar fremkaller Dream University økonomiske natteskrekk. Etter søvnløse netter møter du mamma og pappa en økonomisk planlegger. Foreldrenes blodskårne øyne lyser opp når planleggeren avslører en investering med en vekstrate på 8% som kan hjelpe familien din til å nå målet på 120.000 dollar. Studer hardt. Hvis du og foreldrene dine investerer 75 620,36 dollar i dag, vil Dream University bli din virkelighet.
Hvordan løse for den opprinnelige mengden av en eksponentiell funksjon
Denne funksjonen beskriver den eksponentielle veksten av investeringen:
120,000 = en(1 +.08)6
- 120.000: Endelig beløp som gjenstår etter 6 år
- .08: Årlig vekstrate
- 6: Antallet år for investeringen skal vokse
- en: Det første beløpet som familien investerte
Hint: Takket være den symmetriske likheten, 120 000 = en(1 +.08)6 er det samme som en(1 +.08)6 = 120,000. (Symmetrisk egenskap av likhet: Hvis 10 + 5 = 15, så 15 = 10 +5.)
Hvis du foretrekker å omskrive ligningen med konstanten, 120 000, til høyre for ligningen, gjør du det.
en(1 +.08)6 = 120,000
Gitt, ligningen ser ikke ut som en lineær ligning (6en = 120 000 dollar), men det er løsbart. Hold deg til det!
en(1 +.08)6 = 120,000
Vær forsiktig: Ikke løp denne eksponentielle ligningen ved å dele 120 000 med 6. Det er et fristende nei-nei.
1. Bruk Operasjonsrekkefølge å forenkle.
en(1 +.08)6 = 120,000
en(1.08)6 = 120 000 (Parenthesis)
en(1,586874323) = 120 000 (eksponent)
2. Løs ved å dele
en(1.586874323) = 120,000
en(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1en = 75,620.35523
en = 75,620.35523
Det opprinnelige beløpet, eller beløpet som familien skal investere, er omtrent 75 620,36 dollar.
3. Frys - du er ikke ferdig ennå. Bruk rekkefølgen av operasjoner for å sjekke svaret ditt.
120,000 = en(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parentes)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (eksponent)
120 000 = 120 000 (Multiplikasjon)
Øvelsesøvelser: svar og forklaringer
Her er eksempler på hvordan du kan løse for det opprinnelige beløpet gitt den eksponentielle funksjonen:
-
84 = en(1+.31)7
Bruk Order of Operations for å forenkle.
84 = en(1.31)7 (Parentes)
84 = en(6.620626219) (eksponent)
Del opp for å løse.
84/6.620626219 = en(6.620626219)/6.620626219
12.68762157 = 1en
12.68762157 = en
Bruk Order of Operations for å sjekke svaret ditt.
84 = 12.68762157(1.31)7 (Parentes)
84 = 12.68762157 (6.620626219) (eksponent)
84 = 84 (Multiplikasjon) -
en(1 -.65)3 = 56
Bruk Order of Operations for å forenkle.
en(.35)3 = 56 (Parenthesis)
en(.042875) = 56 (eksponent)
Del opp for å løse.
en(.042875)/.042875 = 56/.042875
en = 1,306.122449
Bruk Order of Operations for å sjekke svaret ditt.
en(1 -.65)3 = 56
1,306.122449(.35)3 = 56 (Parenthesis)
1,306.122449 (.042875) = 56 (eksponent)
56 = 56 (multipliser) -
en(1 + .10)5 = 100,000
Bruk Order of Operations for å forenkle.
en(1.10)5 = 100 000 (Parenthesis)
en(1.61051) = 100.000 (eksponent)
Del opp for å løse.
en(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
en = 62,092.13231
Bruk Order of Operations for å sjekke svaret ditt.
62,092.13231(1 + .10)5 = 100,000
62,092.13231(1.10)5 = 100 000 (Parenthesis)
62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (eksponent)
100 000 = 100 000 (multipliser) -
8,200 = en(1.20)15
Bruk Order of Operations for å forenkle.
8,200 = en(1.20)15 (Eksponent)
8,200 = en(15.40702157)
Del opp for å løse.
8,200/15.40702157 = en(15.40702157)/15.40702157
532.2248665 = 1en
532.2248665 = en
Bruk Order of Operations for å sjekke svaret ditt.
8,200 = 532.2248665(1.20)15
8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (eksponent)
8.200 = 8200 (Vel, 8.199.9999... Bare litt avrundingsfeil.) (Multipliser.) -
en(1 -.33)2 = 1,000
Bruk Order of Operations for å forenkle.
en(.67)2 = 1 000 (parhesjon)
en(.4489) = 1 000 (eksponent)
Del opp for å løse.
en(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
1en = 2,227.667632
en = 2,227.667632
Bruk Order of Operations for å sjekke svaret ditt.
2,227.667632(1 -.33)2 = 1,000
2,227.667632(.67)2 = 1 000 (parhesjon)
2,227,667632 (.4489) = 1 000 (eksponent)
1 000 = 1 000 (multipliser) -
en(.25)4 = 750
Bruk Order of Operations for å forenkle.
en(.00390625) = 750 (eksponent)
Del opp for å løse.
en(.00390625)/00390625= 750/.00390625
1a = 192 000
a = 192.000
Bruk Order of Operations for å sjekke svaret ditt.
192,000(.25)4 = 750
192,000(.00390625) = 750
750 = 750