Hva er det tomme settet i settteorien?

Når kan ingenting være noe? Det virker som et tullete spørsmål, og ganske paradoksalt. I det matematiske feltet settet teori er det rutine for ingenting å være noe annet enn ingenting. Hvordan kan dette være?

Når vi danner et sett uten elementer, har vi ikke lenger noe. Vi har et sett med ingenting i det. Det er et spesielt navn på settet som ikke inneholder elementer. Dette kalles det tomme eller null settet.

Definisjonen av det tomme settet er ganske subtil og krever litt tanke. Det er viktig å huske at vi tenker på a sett som en samling av elementer. Selve settet er forskjellig fra elementene som det inneholder.

For eksempel vil vi se på {5}, som er et sett som inneholder elementet 5. Settet {5} er ikke et tall. Det er et sett med tallet 5 som et element, mens 5 er et tall.

På lignende måte er ikke det tomme settet ingenting. I stedet er det settet uten elementer. Det hjelper å tenke på sett som containere, og elementene er de tingene vi legger i dem. En tom beholder er fremdeles en beholder og er analog med det tomme settet.

Det tomme settet er unikt, og det er derfor det er riktig å snakke om de tomt sett, i stedet for en tomt sett. Dette gjør det tomme settet forskjellig fra andre sett. Det er uendelig mange sett med ett element i seg. Settene {a}, {1}, {b} og {123} har ett element, og de tilsvarer hverandre. Siden elementene i seg selv er forskjellige fra hverandre, er ikke settene like.

Det er ikke noe spesielt med at eksemplene over hver har ett element. Med ett unntak, for alle tellende tall eller uendelig, er det uendelig mange sett av den størrelsen. Unntaket er for tallet null. Det er bare ett sett, det tomme settet, uten elementer i det.

Det matematiske beviset på dette faktum er ikke vanskelig. Vi antar først at det tomme settet ikke er unikt, at det er to sett uten elementer i dem, og bruker deretter noen få egenskaper fra settteorien for å vise at denne antagelsen innebærer en motsetning.

Det tomme settet er betegnet med symbolet ∅, som kommer fra et lignende symbol i det danske alfabetet. Noen bøker refererer til det tomme settet med det alternative navnet på nullsettet.

Siden det bare er et tomt sett, er det verdt å se hva som skjer når settet opererer skjæringspunkt, forening og komplement brukes med det tomme settet og et generelt sett som vi vil betegne av X. Det er også interessant å vurdere undergruppen til det tomme settet, og når er det tomme settet et delsett. Disse fakta er samlet nedenfor:

• De kryss av ethvert sett med det tomme settet er det tomme settet. Dette er fordi det ikke er noen elementer i det tomme settet, og derfor har de to settene ingen elementer til felles. I symboler skriver vi X ∩ ∅ = ∅.
• De union av ethvert sett med det tomme settet er settet vi startet med. Dette er fordi det ikke er noen elementer i det tomme settet, og derfor legger vi ikke til noen elementer til det andre settet når vi danner fagforeningen. I symboler skriver vi X U ∅ = X.
• De utfylle av det tomme settet er det universelle settet for innstillingen som vi jobber i. Dette fordi settet med alle elementer som ikke er i det tomme settet, bare er settet med alle elementer.
• Det tomme settet er en undergruppe av ethvert sett. Dette er fordi vi danner undergrupper av et sett X ved å velge (eller ikke velge) elementer fra X. Et alternativ for et delsett er å bruke ingen elementer i det hele tatt X. Dette gir oss det tomme settet.