Dirac delta-funksjonen er navnet gitt til en matematisk struktur som er ment å representere et idealisert punktobjekt, for eksempel en punktmasse eller punktladning. Den har brede bruksområder innen kvantemekanikk og resten av kvantefysikk, som det vanligvis brukes i kvanten bølgefunksjonen. Delta-funksjonen er representert med det greske små symbolet delta, skrevet som en funksjon: δ (x).
Slik fungerer Delta-funksjonen
Denne representasjonen oppnås ved å definere Dirac delta-funksjonen slik at den har en verdi på 0 overalt bortsett fra inngangsverdien 0. På det tidspunktet representerer den en pigge som er uendelig høy. Integralet over hele linjen er lik 1. Hvis du har studert kalkulus, har du sannsynligvis opplevd dette fenomenet før. Husk at dette er et konsept som normalt blir introdusert for studenter etter mange års studier på høyskolenivå i teoretisk fysikk.
Med andre ord er resultatene følgende for den mest grunnleggende delta-funksjonen δ (x), med en endimensjonal variabel x, for noen tilfeldige inndataverdier:
- δ(5) = 0
- δ(-20) = 0
- δ(38.4) = 0
- δ(-12.2) = 0
- δ(0.11) = 0
- δ(0) = ∞
Du kan skalere funksjonen opp ved å multiplisere den med en konstant. Under reglene for beregning vil multiplisering med en konstant verdi også øke integralets verdi med den konstante faktoren. Siden integralen av δ (x) på tvers av alle reelle tall er 1, og å multiplisere den med en konstant av ville ha en ny integral lik den konstanten. Så for eksempel 27δ (x) har et integrert tvers av alle reelle tall på 27.
En annen nyttig ting å ta i betraktning er at siden funksjonen kun har en verdi som ikke er null for en inngang på 0, så hvis du ser på et koordinatnett der poenget ditt ikke er stilt opp til 0, dette kan representeres med et uttrykk i funksjonsinngangen. Så hvis du vil representere ideen om at partikkelen er i en posisjon x = 5, så vil du skrive Dirac delta-funksjonen som δ (x - 5) = ∞ [siden δ (5 - 5) = ∞].
Hvis du deretter vil bruke denne funksjonen til å representere en serie punktpartikler i et kvantesystem, kan du gjøre det ved å legge sammen forskjellige dirac delta-funksjoner. For et konkret eksempel kan en funksjon med punkter ved x = 5 og x = 8 bli representert som δ (x - 5) + δ (x - 8). Hvis du da tok et integral av denne funksjonen over alle tall, ville du fått et integrert det representerer reelle tall, selv om funksjonene er 0 på alle andre steder enn de to der der er poeng. Dette konseptet kan deretter utvides til å representere et rom med to eller tre dimensjoner (i stedet for den endimensjonale saken jeg brukte i eksemplene mine).
Dette er en ganske kort introduksjon til et veldig sammensatt tema. Det viktigste å innse om det er at Dirac delta-funksjonen i utgangspunktet eksisterer med det eneste formål å gjøre integrasjonen av funksjonen fornuftig. Når det ikke er noe integralt sted, er ikke tilstedeværelsen av Dirac delta-funksjonen spesielt nyttig. Men i fysikk, når du har å gjøre fra å reise fra et område uten partikler som plutselig bare eksisterer på et tidspunkt, er det ganske nyttig.
Kilde til delta-funksjonen
I sin bok fra 1930, Prinsipper for kvantemekanikk, Engelsk teoretisk fysiker Paul Dirac la ut nøkkelelementene i kvantemekanikken, inkludert bra-ket-notasjonen og også hans Dirac delta-funksjon. Disse ble standardbegrep innen kvantemekanikk innen Schrodinger ligning.