Arbeidsark for Chebyshevs ulikhet

Chebysjevs ulikhet sier at minst 1 -1 /K² av data fra en prøve må falle innenfor Kstandardavvik fra mener, hvorK er noe positivt ekte nummer større enn en. Dette betyr at vi ikke trenger å vite formen på distribusjonen av dataene våre. Med bare gjennomsnittet og standardavviket, kan vi bestemme datamengden et visst antall standardavvik fra gjennomsnittet.

Følgende er noen problemer å praktisere ved å bruke ulikheten.

En klasse av andre klassinger har en gjennomsnittlig høyde på fem fot med et standardavvik på en tomme. I hvert fall hvilken prosent av klassen må være mellom 4’10 ”og 5’2”?

Høydene som er gitt i området over er innenfor to standardavvik fra middelhøyden på fem fot. Chebyshevs ulikhet sier at minst 1 - 1/2² = 3/4 = 75% av klassen er i det gitte høydeområdet.

Datamaskiner fra et bestemt selskap er funnet å vare i gjennomsnitt i tre år uten maskinvarefeil, med et standardavvik på to måneder. I det minste hvilken prosent av datamaskinene varer mellom 31 måneder og 41 måneder?

Gjennomsnittlig levetid på tre år tilsvarer 36 måneder. Tidene på 31 måneder til 41 måneder er hver 5/2 = 2,5 standardavvik fra gjennomsnittet. Ved Chebyshevs ulikhet, minst 1 - 1 / (2.5) 6² = 84% av datamaskinene varer fra 31 måneder til 41 måneder.

Bakterier i en kultur lever i en gjennomsnittlig tid på tre timer med et standardavvik på 10 minutter. I det minste hvilken brøkdel av bakteriene lever mellom to og fire timer?

To og fire timer er hver time unna gjennomsnittet. En time tilsvarer seks standardavvik. Altså minst 1 - 1/6² = 35/36 = 97% av bakteriene lever mellom to og fire timer.

Hva er det minste antall standardavvik fra gjennomsnittet som vi må gå hvis vi vil sikre at vi har minst 50% av dataene til en distribusjon?

Her bruker vi Chebyshevs ulikhet og jobber bakover. Vi ønsker 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². Målet er å bruke algebra å løse for K.

Vi ser at 1/2 = 1 /K². Kryss multipliser og se at 2 =K². Vi tar kvadratroten fra begge sider, og siden K er et antall standardavvik, ignorerer vi den negative løsningen på ligningen. Dette viser det K er lik kvadratroten av to. Så minst 50% av dataene ligger innenfor omtrent 1,4 standardavvik fra gjennomsnittet.

Bussrute 25 tar en gjennomsnittlig tid på 50 minutter med et standardavvik på 2 minutter. En salgsfremmende plakat for dette bussystemet sier at "95% av tiden bussrute nr. 25 varer fra ____ til _____ minutter." Hvilke tall vil du fylle ut feltene med?

Dette spørsmålet ligner på det siste i det vi trenger å løse for K, antall standardavvik fra gjennomsnittet. Begynn med å sette 95% = 0,95 = 1 - 1 /K². Dette viser at 1 - 0,95 = 1 /K². Forenkle for å se at 1 / 0,05 = 20 = K². Så K = 4.47.

Nå uttrykk dette i vilkårene over. Minst 95% av alle rittene er 4,47 standardavvik fra middeltiden på 50 minutter. Multipliser 4,47 med standardavviket på 2 for å ende opp med ni minutter. Så 95% av tiden tar bussrute nr. 25 mellom 41 og 59 minutter.